Физика

3.4. Механическая энергия
3.4.3. Полная механическая энергия

Система тел может обладать как кинетической, так и потенциальной энергией.

Полная механическая энергиятела представляет собой сумму его кинетической и потенциальной энергий:

E = Wk+ Wp,

где Wk — кинетическая энергия тела; Wp — потенциальная энергия тела.

Полная механическая энергия системы нескольких тел представляет собой сумму полных механических энергий всех тел системы:

E = E1+ E2+ ... + EN,

где E1 — полная механическая энергия первого тела; E2 — полная механическая энергия второго тела и т.д.

Полная механическая энергия системы нескольких тел является суммой кинетических и потенциальных энергий каждого тела, входящего в данную систему:

E = Ek+ Ep,

где Ek — сумма кинетических энергий всех тел системы (кинетическая энергия системы); Ep — сумма потенциальных энергий всех тел системы (потенциальная энергия системы).

Пример 28. Груз массой 0,50 кг, прикрепленный к пружине жесткостью 0,10 кН/м, совершает колебания в горизонтальной плоскости. Вычислить полную механическую энергию системы пружина — груз в момент времени, когда пружина растянута на 10 см, а закрепленный на ее конце груз имеет скорость 2,0 м/с.

Решение. Полная механическая энергия системы пружина — груз является суммой потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза:

E = Wk+ Wp,

где Wp — потенциальная энергия деформированной пружины; Wk — кинетическая энергия груза.

На рисунке изображена система пружина — груз, показаны направление скорости движения груза и величина растяжения пружины ∆l.

Значения потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза определяются формулами:

  • потенциальная энергия деформированной пружины

Wp=k(Δl)22;

  • кинетическая энергия движущегося груза

Wk=mv22,

где k — коэффициент жесткости пружины; ∆l — величина деформации (растяжения) пружины; m — масса груза; v — величина скорости груза.

Подстановка записанных формул для Wp и Wk в исходное выражение дает формулу для расчета полной механической энергии системы пружина — груз в указанный момент времени:

E=k(Δl)22+mv22.

Произведем вычисление:

E=0,10103(10102)22+0,502,022=1,5 Дж.

Пример 29. Тело массой 1,0 кг брошено с поверхности Земли с начальной скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Найти полную механическую энергию тела относительно поверхности Земли через 2,0 секунды полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Полная механическая энергия тела является суммой потенциальной энергии тела относительно поверхности Земли и его кинетической энергии:

E = Wk+ Wp,

где Wk — кинетическая энергия; Wp — потенциальная энергия тела.

На рисунке изображена траектория движения тела, показаны направления скорости его движения и выбранная система координат.

Значения потенциальной и кинетической энергии тела определяются формулами:

  • потенциальная энергия

Wp = mgh;

  • кинетическая энергия

Wk=mv22,

где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; h — высота тела над поверхностью Земли в указанный момент времени; v — модуль скорости тела.

  • Для расчета кинетической энергии тела необходимо вычислить величину скорости тела в указанный момент времени. Расчет произведем по формуле

v=vx2+vy2,

где vx — проекция скорости тела на ось Ox; vy — проекция скорости тела на ось Oy.

Проекции скорости определяются выражениями

vx=v0cosα=20cos30°=103 м/с;vy=v0sinαgt0=20sin30°102,0=10 м/с,}

где v0 — модуль начальной скорости тела; t0 = 2,0 с — момент времени, в который определяется значение полной энергии тела.

Подстановка полученных значений в выражение для вычисления модуля скорости дает ее значение:

v=(103)2+(10)2=20 м/с.

  • Для расчета потенциальной энергии тела необходимо вычислить высоту подъема тела над поверхностью Земли в указанный момент времени:

h=y(t0)=v0t0sin30°gt022=202,00,50,510(2,0)2=0 м,

т.е. в указанный момент времени тело упало на Землю.

Подставим найденные значения скорости и высоты подъема в исходное уравнение для расчета полной энергии и выполним расчет:

E=mgh+mv22=1,0100+1,02022=200 Дж=0,20 кДж.

Нетрудно заметить, что найденное значение полной механической энергии тела в указанный момент времени совпадает со значением полной механической энергии в начальный момент времени:

E0=mv022=1,02022=200 Дж.

Однако равенство

E = E0

имеет место только в отсутствие сопротивления воздуха.