Физика

Пример 30. На некоторой высоте покоящееся тело имеет потенциальную энергию, равную 56 Дж. К моменту падения на Землю тело имеет кинетическую энергию, равную 44 Дж. Определить работу сил сопротивления воздуха.

Решение. На рисунке показаны два положения тела: на некоторой высоте (первое) и к моменту падения на Землю (второе). Нулевой уровень потенциальной энергии выбран на поверхности Земли.

Полная механическая энергия тела относительно поверхности Земли определяется суммой потенциальной и кинетической энергии:

• на некоторой высоте

E₁ = W_p1 + W_k1;

• к моменту падения на Землю

E₂ = W_p2 + W_k2,

где W_p1 = 56 Дж — потенциальная энергия тела на некоторой высоте; W_k1 = 0 — кинетическая энергия покоящегося на некоторой высоте тела; W_p2 = 0 Дж — потенциальная энергия тела к моменту падения на Землю; W_k2 = 44 Дж — кинетическая энергия тела к моменту падения на Землю.

Работу сил сопротивления воздуха найдем из закона изменения полной механической энергии тела:

E₂ − E₁ = A_внеш + A_сопр,

где E₁ = W_p1 — полная механическая энергия тела на некоторой высоте; E₂ = W_k2 — полная механическая энергия тела к моменту падения на Землю; A_внеш = 0 — работа внешних сил (внешние силы отсутствуют); A_сопр — работа сил сопротивления воздуха.

Искомая работа сил сопротивления воздуха, таким образом, определяется выражением

A_сопр = W_k2 − W_p1.

Произведем вычисление:

A_сопр = 44 − 56 = −12 Дж.

Работа сил сопротивления воздуха является отрицательной величиной.

Пример 31. Две пружины с коэффициентами жесткости 1,0 кН/м и 2,0 кН/м соединены параллельно. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть систему пружин на 20 см?

Решение. На рисунке показаны две пружины с разными коэффициентами жесткости, соединенные параллельно.

Внешняя сила $\overrightarrow{F}$, растягивающая пружины, зависит от величины деформации составной пружины, поэтому расчет работы указанной силы по формуле для вычисления работы постоянной силы неправомерен.

Для расчета работы воспользуемся законом изменения полной механической энергии системы:

E₂ − E₁ = A_внеш + A_сопр,

где E₁ — полная механическая энергия составной пружины в недеформированном состоянии; E₂ — полная механическая энергия деформированной пружины; A_внеш — работа внешней силы (искомая величина); A_сопр = 0 — работа сил сопротивления.

Полная механическая энергия составной пружины представляет собой потенциальную энергию ее деформации:

• для недеформированной пружины

E₁ = W_p1 = 0,

• для растянутой пружины

$E_2=W_{p2}=\frac{k_{\text{общ}}{\left(\Delta l\right)}^2}{2}$,

где k_общ — общий коэффицент жесткости составной пружины; ∆l — величина растяжения пружины.

Общий коэффициент жесткости двух пружин, соединенных параллельно, есть сумма

k_общ = k₁ + k₂,

где k₁ — коэффициент жесткости первой пружины; k₂ — коэффициент жесткости второй пружины.

Работу внешней силы найдем из закона изменения полной механической энергии тела:

A_внеш = E₂ − E₁,

подставив в данное выражение формулы, определяющие E₁ и E₂, а также выражение для общего коэффициента жесткости составной пружины:

$A_{\text{внеш}}=\frac{k_{\text{общ}}{\left(\Delta l\right)}^2}{2}-0=\frac{(k_1+k_2){\left(\Delta l\right)}^2}{2}$.

Выполним расчет:

$A_{\text{внеш}}=\frac{(\mathrm{1,0}+\mathrm{2,0})\cdot {10}^3\cdot {(20\cdot {10}^{-2})}^2}{2}=60$ Дж.

Пример 32. Пуля массой 10,0 г, летящая со скоростью 800 м/с, попадает в стену. Модуль силы сопротивления движению пули в стене постоянен и составляет 8,00 кН. Определить, на какое расстояние пуля углубится в стену.

Решение. На рисунке показаны два положения пули: при ее подлете к стене (первое) и к моменту остановки (застревания) пули в стене (второе).

Полная механическая энергия пули яв­ляется кинетической энергией ее движения:

• при подлете пули к стене

$E_1=W_{k1}=\frac{m{v}_1^2}{2}$;

• к моменту остановки (застревания) пули в стене

$E_2=W_{k2}=\frac{m{v}_2^2}{2}$,

где W_k1 — кинетическая энергия пули при подлете к стене; W_k2 — кинетическая энергия пули к моменту ее остановки (застревания) в стене; m — масса пули; v₁ — модуль скорости пули при подлете к стене; v₂ = 0 — величина скорости пули к моменту остановки (застревания) в стене.

Расстояние, на которое пуля углубится в стену, найдем из закона изменения полной механической энергии пули:

E₂ − E₁ = A_внеш + A_сопр,

где $E_1=\frac{m{v}_1^2}{2}$ — полная механическая энергия пули при подлете к стене; E₂ = 0 — полная механическая энергия пули к моменту ее остановки (застревания) в стене; A_внеш = 0 — работа внешних сил (внешние силы отсутствуют); A_сопр — работа сил сопротивления.

Работа сил сопротивления определяется произведением:

$A_{\text{сопр}}=F_{\text{сопр}}l\cos \alpha$,

где F_сопр — модуль силы сопротивления движению пули; l — расстояние, на которое углубится пуля в стену; α = 180° — угол между направлениями силы сопротивления и направлением движения пули.

Таким образом, закон изменения полной механической энергии пули в явном виде выглядит следующим образом:

$-\frac{m{v}_1^2}{2}=F_{\text{сопр}}l\cos 180°$.

Искомое расстояние определяется отношением

$l=-\frac{m{v}_1^2}{2F_{\text{сопр}}\cos 180°}=\frac{m{v}_1^2}{2F_{\text{сопр}}}$

и равно

$l=\frac{\mathrm{10,0}\cdot {10}^{-3}\cdot {800}^2}{2\cdot \mathrm{8,00}\cdot {10}^3}=\mathrm{0,40}\text{ м}=400$ мм.