Физика

Пример 28. Груз массой 0,50 кг, прикрепленный к пружине жесткостью 0,10 кН/м, совершает колебания в горизонтальной плоскости. Вычислить полную механическую энергию системы пружина — груз в момент времени, когда пружина растянута на 10 см, а закрепленный на ее конце груз имеет скорость 2,0 м/с.

Решение. Полная механическая энергия системы пружина — груз является суммой потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза:

E = W_k+ W_p,

где W_p — потенциальная энергия деформированной пружины; W_k — кинетическая энергия груза.

На рисунке изображена система пружина — груз, показаны направление скорости движения груза и величина растяжения пружины ∆l.

Значения потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза определяются формулами:

• потенциальная энергия деформированной пружины

$W_p=\frac{k{\left(\Delta l\right)}^2}{2}$;

• кинетическая энергия движущегося груза

$W_k=\frac{m{v}^2}{2}$,

где k — коэффициент жесткости пружины; ∆l — величина деформации (растяжения) пружины; m — масса груза; v — величина скорости груза.

Подстановка записанных формул для W_p и W_k в исходное выражение дает формулу для расчета полной механической энергии системы пружина — груз в указанный момент времени:

$E=\frac{k{\left(\Delta l\right)}^2}{2}+\frac{m{v}^2}{2}$.

Произведем вычисление:

$E=\frac{\text{0}\mathrm{,10}\cdot {10}^3{(10\cdot {10}^{-2})}^2}{2}+\frac{\mathrm{0,50}\cdot {\mathrm{2,0}}^2}{2}=\mathrm{1,5}$ Дж.

Пример 29. Тело массой 1,0 кг брошено с поверхности Земли с начальной скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Найти полную механическую энергию тела относительно поверхности Земли через 2,0 секунды полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Полная механическая энергия тела является суммой потенциальной энергии тела относительно поверхности Земли и его кинетической энергии:

E = W_k+ W_p,

где W_k — кинетическая энергия; W_p — потенциальная энергия тела.

На рисунке изображена траектория движения тела, показаны направления скорости его движения и выбранная система координат.

Значения потенциальной и кинетической энергии тела определяются формулами:

• потенциальная энергия

W_p = mgh;

• кинетическая энергия

$W_k=\frac{m{v}^2}{2}$,

где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; h — высота тела над поверхностью Земли в указанный момент времени; v — модуль скорости тела.

• Для расчета кинетической энергии тела необходимо вычислить величину скорости тела в указанный момент времени. Расчет произведем по формуле

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$,

где v_x — проекция скорости тела на ось Ox; v_y — проекция скорости тела на ось Oy.

Проекции скорости определяются выражениями

$\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cos \alpha =20\cos 30°=10\sqrt{3}\text{ м/с};\\ v_y=v_0\sin \alpha -g{t}_0=20\sin 30°-10\cdot \mathrm{2,0}=-10\text{ м/с},\end{array}\}$

где v₀ — модуль начальной скорости тела; t₀ = 2,0 с — момент времени, в который определяется значение полной энергии тела.

Подстановка полученных значений в выражение для вычисления модуля скорости дает ее значение:

$v=\sqrt{{\left(10\sqrt{3}\right)}^2+{(-10)}^2}=20$ м/с.

• Для расчета потенциальной энергии тела необходимо вычислить высоту подъема тела над поверхностью Земли в указанный момент времени:

$h=y\left(t_0\right)=v_0{t}_0\sin 30°-\frac{g{t}_0^2}{2}=20\cdot \mathrm{2,0}\cdot \mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}\cdot 10\cdot {\left(\mathrm{2,0}\right)}^2=0$ м,

т.е. в указанный момент времени тело упало на Землю.

Подставим найденные значения скорости и высоты подъема в исходное уравнение для расчета полной энергии и выполним расчет:

$E=mgh+\frac{m{v}^2}{2}=\mathrm{1,0}\cdot 10\cdot 0+\frac{\mathrm{1,0}\cdot {20}^2}{2}=200\text{ Дж}=\mathrm{0,20}$ кДж.

Нетрудно заметить, что найденное значение полной механической энергии тела в указанный момент времени совпадает со значением полной механической энергии в начальный момент времени:

$E_0=\frac{m{v}_0^2}{2}=\frac{\mathrm{1,0}\cdot {20}^2}{2}=200$ Дж.

Однако равенство

E = E₀

имеет место только в отсутствие сопротивления воздуха.