Физика

Пример 26. Две пружины с одинаковыми коэффициентами жесткости по 1,0 кН/м соединили последовательно. Составную пружину растянули на 10 см. Во сколько раз увеличится потенциальная энергия деформации, если эти же пружины соединить параллельно, а величину деформации системы оставить прежней? Рассчитать потенциальную энергию пружин при последовательном и параллельном соединении, считая деформацию составной пружины одинаковой и равной 10 см.

Решение. Потенциальная энергия составной пружины определяется формулой

$W_p=\frac{k_{\text{общ}}{\left(\Delta l\right)}^2}{2}$,

где k_общ — общий коэффициент жесткости составной пружины; ∆l — величина деформации пружины.

Коэффициент жесткости составной пружины определяется по-разному:

• для N одинаковых пружин, соединенных последовательно,

$k_{\text{общ}1}=\frac{k_0}{N}$;

• для N одинаковых пружин, соединенных параллельно,

k_общ2 = Nk₀,

где k₀ — коэффициент жесткости одной пружины; N = 2 — количество соединенных пружин.

Потенциальная энергия составной пружины вычисляется по формулам:

• для N одинаковых пружин, соединенных последовательно,

$W_{p1}=\frac{k_{\text{общ}1}{\left(\Delta l\right)}^2}{2}=\frac{k_0{\left(\Delta l\right)}^2}{2N}$;

• для N одинаковых пружин, соединенных параллельно,

$W_{p2}=\frac{k_{\text{общ}2}{\left(\Delta l\right)}^2}{2}=\frac{N{k}_0{\left(\Delta l\right)}^2}{2}$.

Отношение потенциальных энергий

$\frac{W_{p1}}{W_{p2}}=\frac{k_0{\left(\Delta l\right)}^2}{2N}\frac{2}{N{k}_0{\left(\Delta l\right)}^2}=\frac{1}{N^2}$

определяется только количеством пружин и не зависит от деформации составной пружины.

Рассчитаем потенциальную энергию составной пружины, состоящей из двух одинаковых пружин,

• соединенных последовательно:

$W_{p1}=\frac{k_0{\left(\Delta l\right)}^2}{2N}=\frac{\mathrm{1,0}\cdot {10}^3{(10\cdot {10}^{-2})}^2}{2\cdot 2}=\mathrm{2,5}$ Дж;

• соединенных параллельно:

$W_{p2}=\frac{N{k}_0{\left(\Delta l\right)}^2}{2}=\frac{2\cdot \mathrm{1,0}\cdot {10}^3{(10\cdot {10}^{-2})}^2}{2}=10$ Дж.

Отношение указанных потенциальных энергий равно

$\frac{W_{p1}}{W_{p2}}=\frac{1}{N^2}=\frac{1}{2^2}=4$.

Следовательно, при одинаковой деформации потенциальная энергия пружины, составленной из двух одинаковых параллельно соединенных пружин, в 4 раза больше потенциальной энергии пружины, составленной из двух одинаковых последовательно соединенных пружин.

Пример 27. Какой энергией обладает тело массой 500 г на вершине горы относительно дна озера, находящегося у подножия горы? Высота горы составляет 1,50 км, а глубина озера 250 м.

Решение. Потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, определяется формулой

W_p = mgh,

где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; h — высота, на которую поднято тело над определенным уровнем, характеризуемым нулевым значением потенциальной энергии.

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии (W_p = 0) на дне озера так, как показано на рисунке.

Тогда высота, на которую поднято тело над указанным уровнем, является суммой:

h = h₁ + h₂,

где h₁ = 1,50 км — высота горы; h₁ = 250 м — глубина озера.

Потенциальная энергия тела относительно дна озера определяется выражением

W_p = mg(h₁ + h₂).

Расчет дает значение:

$W_p=500\cdot {10}^{-3}\cdot 10\cdot (\mathrm{1,50}+\mathrm{0,25})\cdot {10}^3=\mathrm{8,75}\cdot {10}^3\text{ Дж}=\mathrm{8,75}$ кДж.