Физика

3.4. Механическая энергия
3.4.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия — это энергия механического движения некоторой системы тел. Кинетической энергией обладают только движущиеся тела.

В Международной системе единиц кинетическая энергия движущегося тела измеряется в джоулях (1 Дж).

Кинетическая энергия поступательного движения тела определяется формулой

Wk=mv22,

где m — масса движущегося тела; v — модуль его скорости.

Для расчета кинетической энергии при поступательном движении тела существует еще одна формула:

Wk=P22m,

где P = mv — модуль импульса движущегося тела.

Кинетическая энергия вращательного движения тела определяется формулой

Wk=mω2R22,

где m — масса движущегося тела; ω — величина угловой скорости (циклическая частота); R — радиус окружности, по которой движется тело.

Для расчета кинетической энергии при вращательном движении тела существует еще одна формула:

Wk=2mπ2ν2R2,

где ν — частота вращения тела.

При решении задач на расчет кинетической энергии системы тел полезно помнить, что она складывается из кинетических энергий каждого из тел:

Wkсис=Wk1+Wk2+...+WkN,

где Wk1, Wk2, ..., WkN — кинетические энергии каждого тела.

При решении задач на расчет кинетической энергии вращательного движения могут оказаться полезными следующие формулы:

  • связь между линейной v и угловой ω скоростями:

v = ωR,

где R — радиус окружности по которой движется тело;

  • связь между циклической частотой ω и частотой ν:

ω = 2πν;

  • связь между циклической частотой ω (или частотой ν) и периодом обращения тела по окружности T:

ωT = 2π или ν=1T.

Пример 24. Координата тела, движущегося вдоль оси Ox, зависит от времени по закону x(t) = 8,0 − 2,0t + t2, где координата задана в метрах, время — в секундах. Определить изменение кинетической энергии тела с начала третьей до конца четвертой секунды движения. Масса тела составляет 3,0 кг.

Решение. Кинетическая энергия тела определяется формулами:

  • в начале третьей секунды движения (t1 = 2 c)

Wk1=mv2(t1)2;

  • в конце четвертой секунды движения (t2 = 4 c)

Wk2=mv2(t2)2,

где v(t1) — модуль скорости тела в начале третьей секунды; v(t2) — модуль скорости тела в конце четвертой секунды.

Уравнение движения тела

x(t)=8,02,0t+t2

позволяет установить закон изменения проекции скорости на ось Ox с течением времени в виде:

vx(t)=v0x+axt,

где v0x = −2,0  м/с — проекция начальной скорости на ось Ox; ax = = 2,0 м/с2 — проекция ускорения на указанную ось.

Таким образом, зависимость проекции скорости от времени, записанная в явном виде

vx(t)=2,0+2,0t,

позволяет получить соответствующие проекции скоростей:

  • в начале третьей секунды движения (t1 = 2 c)

vx(t1)=2,0+2,0t1=2,0+2,02=2,0 м/с;

  • в конце четвертой секунды движения (t2 = 4 c)

vx(t2)=2,0+2,0t2=2,0+2,04=6,0 м/с.

Значения кинетической энергии тела в указанные моменты времени:

  • в начале третьей секунды движения (t1 = 2 c)

Wk1=3,0(2,0)22=6,0 Дж,

  • в конце четвертой секунды движения (t2 = 4 c)

Wk2=3,0(6,0)22=54 Дж.

Искомая разность кинетических энергий составляет

ΔWk=Wk2Wk1=546,0=48 Дж.

Таким образом, кинетическая энергия тела за указанный интервал времени возросла на 48 Дж.

Пример 25. Тело движется в плоскости xOy по траектории вида x2 + y2 = 25 под действием центростремительной силы, величина которой равна 50 Н. Масса тела составляет 2,0 кг. Координаты x и y заданы в метрах. Найти кинетическую энергию тела.

Решение. Траектория движения тела представляет собой окружность радиусом 5,0 м. Согласно условию задачи, на тело действует только одна сила, направленная к центру этой окружности.

Модуль указанной силы является постоянной величиной, поэтому тело обладает постоянным центростремительным ускорением, не влияющим на величину скорости тела; следовательно, тело движется по окружности с постоянной скоростью.

Рисунок иллюстрирует данное обстоятельство.

Величина центростремительной силы определяется формулой

Fц.с=mv2R,

где m — масса тела; v — модуль скорости тела; R — радиус окружности, по которой движется тело.

Выражение для кинетической энергии тела имеет вид:

Wk=mv22.

Отношение уравнений

Fц.сWk=mv2R2mv2=2R

позволяет получить формулу для расчета искомой кинетической энергии:

Wk=Fц.сR2

и рассчитать ее значение:

Wk=505,02=125 Дж.