Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

10.4. Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях

10.4.2. Сохранение энергии при электромагнитных гармонических колебаниях

При электромагнитных гармонических колебаниях, возникающих в идеальном колебательном контуре, полная электромагнитная энергия контура сохраняется (остается постоянной).

Полная электромагнитная энергия идеального колебательного контура складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки индуктивности:

E = W _C + W _L,

где W _C — энергия электрического поля конденсатора, W _C = CU ²/2 = q ²/2C = qU/2; W _L — энергия магнитного поля катушки, W _L = LI ²/2; C — электрическая емкость конденсатора; U — напряжение (разность потенциалов) между обкладками конденсатора; q — заряд на обкладках конденсатора; L — индуктивность катушки; I — сила тока в катушке (рис. 10.17).

Рис. 10.17

В Международной системе единиц энергия электромагнитных колебаний измеряется в джоулях (1 Дж).

При гармонических электромагнитных колебаниях локализация электромагнитной энергии изменяется с течением времени, поэтому целесообразно рассмотреть энергию контура в трех состояниях:

1) при полностью заряженном конденсаторе заряд на обкладках конденсатора имеет максимальное значение q _max, поэтому энергия электрического поля также максимальна:

$W_{C}^{max} = \frac{q_{max}^{2}}{2 C}$ ;

энергия магнитного поля катушки равна нулю, так как ток в катушке отсутствует; полная энергия совпадает с максимальной энергией электрического поля конденсатора:

$E = W_{С}^{max}$ ;

2) при максимальном токе в катушке индуктивности I _max энергия магнитного поля в катушке имеет максимальное значение:

$W_{L}^{max} = \frac{L I_{max}^{2}}{2}$ ;

электрическая энергия конденсатора равна нулю, так как конденсатор полностью разряжен; полная энергия совпадает с максимальной энергией магнитного поля в катушке:

$E = W_{L}^{max}$ ;

3) в промежуточном состоянии электромагнитная энергия контура частично локализована в конденсаторе (в виде электрической энергии), а частично — в катушке (в виде магнитной энергии), т.е. обкладки конденсатора имеют некоторый заряд q, а в катушке течет ток силой I, поэтому полная энергия представляет собой сумму

$E = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L I^{2}}{2}$ ,

где q ²/2C — энергия электрического поля конденсатора; LI ²/2 — энергия магнитного поля катушки; C — электрическая емкость конденсатора; q — заряд на обкладках конденсатора; L — индуктивность катушки; I — сила тока в катушке.

При электромагнитных гармонических колебаниях в идеальном колебательном контуре (активное сопротивление идеального контура равно нулю: R = 0) полная электромагнитная энергия сохраняется:

E = const.

Значения полной энергии электромагнитного колебательного контура в трех его состояниях отражены в табл. 10.3.

№	Состояние контура	W_C	W_L	E =W_C + W_L
1	Конденсатор полностью заряжен	$q_{max}^{2} / 2 C$	0	$q_{max}^{2} / 2 C$
2	В катушке течет максимальный ток	0	$L I_{max}^{2} / 2$	$L I_{max}^{2} / 2$
3	Промежуточное (мгновенное)	q²/2C	LI²/2	q²/2C + LI²/2

Значения полной электромагнитной энергии, представленные в последнем столбце таблицы, имеют равные значения для любых состояний колебательного контура, что является математическим выражением закона сохранения полной электромагнитной энергии:

$\frac{q_{max}^{2}}{2 C} = \frac{L I_{max}^{2}}{2}$ ;

$\frac{q_{max}^{2}}{2 C} = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L I^{2}}{2}$ ;

$\frac{L I_{max}^{2}}{2} = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L I^{2}}{2}$ ,

где C — электрическая емкость конденсатора; L — индуктивность катушки; q — заряд на обкладках конденсатора в состоянии 3; I — сила тока в катушке в состоянии 3; q _max — максимальное значение заряда на обкладках конденсатора в состоянии 1; I _max — максимальное значение силы тока в катушке в состоянии 2.

При рассмотрении электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре иногда целесообразно пользоваться другими формулами для определения электрической энергии конденсатора:

при использовании формулы

$W_{C} = \frac{C U^{2}}{2}$

закон сохранения полной электромагнитной энергии может быть выражен одним из соотношений:

$\frac{C U_{max}^{2}}{2} = \frac{L I_{max}^{2}}{2}$ ; $\frac{C U_{max}^{2}}{2} = \frac{C U^{2}}{2} + \frac{L I^{2}}{2}$ ; $\frac{L I_{max}^{2}}{2} = \frac{C U^{2}}{2} + \frac{L I^{2}}{2}$ ,

где C — электрическая емкость конденсатора; L — индуктивность катушки; U — напряжение между обкладками конденсатора в состоянии 3; I — сила тока в катушке в состоянии 3; U _max — максимальное напряжение между обкладками конденсатора в состоянии 1; I _max — максимальное значение силы тока в катушке в состоянии 2;

при использовании формулы

$W_{C} = \frac{q U}{2}$

закон сохранения полной электромагнитной энергии может быть выражен одним из соотношений:

$\frac{q_{max} U_{max}}{2} = \frac{L I_{max}^{2}}{2}$ ; $\frac{q_{max} U_{max}}{2} = \frac{q U}{2} + \frac{L I^{2}}{2}$ ; $\frac{L I_{max}^{2}}{2} = \frac{q U}{2} + \frac{L I^{2}}{2}$ ,

где C — электрическая емкость конденсатора; L — индуктивность катушки; q — заряд на обкладках конденсатора в состоянии 3; U — напряжение между обкладками конденсатора в состоянии 3; I — сила тока в катушке в состоянии 3; q _max — максимальное значение заряда на обкладках конденсатора в состоянии 1; U _max — максимальное напряжение между обкладками конденсатора в состоянии 1; I _max — максимальное значение силы тока в катушке в состоянии 2.

Пример 13. В колебательном контуре возбуждены незатухающие гармонические колебания. Во сколько раз энергия электрического поля в конденсаторе больше энергии магнитного поля в катушке индуктивности в тот момент, когда сила тока в катушке в 4 раза меньше амплитудного значения?

Решение. Сравним два состояния колебательного контура:

состояние 1 (характеризуется максимальным значением силы тока в катушке индуктивности I ₀);
промежуточное состояние 2 (характеризуется промежуточными значениями силы тока в катушке I и напряжения между обкладками конденсатора U).

Полная энергия колебательного контура в указанных состояниях определяется следующими формулами:

в состоянии 1 —

$E_{1} = \frac{L I_{0}^{2}}{2}$ ,

где L — индуктивность катушки; I ₀ — амплитуда силы тока (максимальное значение силы тока);

в состоянии 2 —

$E_{2} = \frac{L I^{2}}{2} + \frac{C U^{2}}{2}$ ,

где C — электроемкость конденсатора; I — сила тока в катушке индуктивности, I = I ₀/4.

Закон сохранения полной энергии электромагнитного колебательного контура имеет следующий вид:

$\frac{L I_{0}^{2}}{2} = \frac{L I^{2}}{2} + \frac{C U^{2}}{2}$ .

Разделим обе части записанного равенства на LI ²/2:

${(\frac{I_{0}}{I})}^{2} = 1 + \frac{C U^{2}}{2} \cdot \frac{2}{L I^{2}} = 1 + \frac{W_{C}}{W_{L}}$ ,

где W _C — энергия электрического поля конденсатора в состоянии 2, W _C = CU ²/2; W _L — энергия магнитного поля катушки в состоянии 2, W _L = LI ²/2.

Выразим из уравнения искомое отношение энергий:

$\frac{W_{C}}{W_{L}} = {(\frac{I_{0}}{I})}^{2} - 1$

и рассчитаем его значение:

$\frac{W_{C}}{W_{L}} = {(\frac{I_{0}}{I_{0} / 4})}^{2} - 1 = 16 - 1 = 15$ .

В указанный момент времени отношение энергии электрического поля конденсатора к энергии магнитного поля катушки равно 15.

Пример 14. Заряд конденсатора электроемкостью 5,0 мкФ в колебательном контуре меняется по закону

q = 0,80 cos φ,

где q — заряд в кулонах; φ — фаза в радианах.

Найти энергию магнитного поля в катушке индуктивности при значении фазы 60°.

Решение. Сравним два состояния колебательного контура:

состояние 1 (характеризуется максимальным значением заряда на обкладках конденсатора q ₀);
промежуточное состояние 2 (характеризуется промежуточными значениями силы тока в катушке I и заряда на обкладках конденсатора q).

Полная энергия колебательного контура в указанных состояниях определяется следующими формулами:

в состоянии 1 —

$E_{1} = \frac{q_{0}^{2}}{2 C}$ ,

где C — электроемкость конденсатора, C = 5,0 мкФ; q ₀ — максимальное значение заряда на обкладках конденсатора, q ₀ = 0,80 Кл;

в состоянии 2 —

$E_{2} = \frac{L I^{2}}{2} + \frac{q^{2}}{2 C}$ ,

где L — индуктивность катушки; q — заряд на обкладках конденсатора в тот момент, когда в катушке индуктивности протекает ток силой I.

Закон сохранения полной энергии электромагнитного колебательного контура имеет следующий вид:

$\frac{q_{0}^{2}}{2 C} = \frac{L I^{2}}{2} + \frac{q^{2}}{2 C}$ .

Выразим из записанного уравнения энергию магнитного поля катушки (искомую величину):

$W_{L} = \frac{L I^{2}}{2} = \frac{q_{0}^{2}}{2 C} - \frac{q^{2}}{2 C} = \frac{q_{0}^{2} - q^{2}}{2 C}$ .

Рассчитаем заряд на обкладках конденсатора при заданной фазе колебаний:

q = 0,80 cos 60° = 0,40 Кл.

Подставим полученное значение в формулу для энергии магнитного поля катушки и вычислим ее значение:

$W_{L} = \frac{{0,80}^{2} - {0,40}^{2}}{2 \cdot 5,0 \cdot 10^{- 6}} = 48 \cdot 10^{3} Дж = 48$ кДж.

При заданной фазе колебаний заряда на обкладках конденсатора энергия магнитного поля в катушке индуктивности составляет 48 кДж.

Физика