Физика
При электромагнитных гармонических колебаниях, возникающих в идеальном колебательном контуре, полная электромагнитная энергия контура сохраняется (остается постоянной).
Полная электромагнитная энергия идеального колебательного контура складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки индуктивности:
E = W C + W L ,
где W C — энергия электрического поля конденсатора, W C = CU 2/2 = q 2/2C = qU/2; W L — энергия магнитного поля катушки, W L = LI 2/2; C — электрическая емкость конденсатора; U — напряжение (разность потенциалов) между обкладками конденсатора; q — заряд на обкладках конденсатора; L — индуктивность катушки; I — сила тока в катушке (рис. 10.17).
В Международной системе единиц энергия электромагнитных колебаний измеряется в джоулях (1 Дж).
При гармонических электромагнитных колебаниях локализация электромагнитной энергии изменяется с течением времени, поэтому целесообразно рассмотреть энергию контура в трех состояниях:
1) при полностью заряженном конденсаторе заряд на обкладках конденсатора имеет максимальное значение q max, поэтому энергия электрического поля также максимальна:
;
энергия магнитного поля катушки равна нулю, так как ток в катушке отсутствует; полная энергия совпадает с максимальной энергией электрического поля конденсатора:
;
2) при максимальном токе в катушке индуктивности I max энергия магнитного поля в катушке имеет максимальное значение:
;
электрическая энергия конденсатора равна нулю, так как конденсатор полностью разряжен; полная энергия совпадает с максимальной энергией магнитного поля в катушке:
;
3) в промежуточном состоянии электромагнитная энергия контура частично локализована в конденсаторе (в виде электрической энергии), а частично — в катушке (в виде магнитной энергии), т.е. обкладки конденсатора имеют некоторый заряд q, а в катушке течет ток силой I, поэтому полная энергия представляет собой сумму
,
где q 2/2C — энергия электрического поля конденсатора; LI 2/2 — энергия магнитного поля катушки; C — электрическая емкость конденсатора; q — заряд на обкладках конденсатора; L — индуктивность катушки; I — сила тока в катушке.
При электромагнитных гармонических колебаниях в идеальном колебательном контуре (активное сопротивление идеального контура равно нулю: R = 0) полная электромагнитная энергия сохраняется:
E = const.
Значения полной энергии электромагнитного колебательного контура в трех его состояниях отражены в табл. 10.3.
№ | Состояние контура | WC | WL | E =WC + WL |
---|---|---|---|---|
1 | Конденсатор полностью заряжен | 0 | ||
2 | В катушке течет максимальный ток | 0 | ||
3 | Промежуточное (мгновенное) | q2/2C | LI2/2 | q2/2C + LI2/2 |
Значения полной электромагнитной энергии, представленные в последнем столбце таблицы, имеют равные значения для любых состояний колебательного контура, что является математическим выражением закона сохранения полной электромагнитной энергии:
;
;
,
где C — электрическая емкость конденсатора; L — индуктивность катушки; q — заряд на обкладках конденсатора в состоянии 3; I — сила тока в катушке в состоянии 3; q max — максимальное значение заряда на обкладках конденсатора в состоянии 1; I max — максимальное значение силы тока в катушке в состоянии 2.
При рассмотрении электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре иногда целесообразно пользоваться другими формулами для определения электрической энергии конденсатора:
- при использовании формулы
закон сохранения полной электромагнитной энергии может быть выражен одним из соотношений:
; ; ,
где C — электрическая емкость конденсатора; L — индуктивность катушки; U — напряжение между обкладками конденсатора в состоянии 3; I — сила тока в катушке в состоянии 3; U max — максимальное напряжение между обкладками конденсатора в состоянии 1; I max — максимальное значение силы тока в катушке в состоянии 2;
- при использовании формулы
закон сохранения полной электромагнитной энергии может быть выражен одним из соотношений:
; ; ,
где C — электрическая емкость конденсатора; L — индуктивность катушки; q — заряд на обкладках конденсатора в состоянии 3; U — напряжение между обкладками конденсатора в состоянии 3; I — сила тока в катушке в состоянии 3; q max — максимальное значение заряда на обкладках конденсатора в состоянии 1; U max — максимальное напряжение между обкладками конденсатора в состоянии 1; I max — максимальное значение силы тока в катушке в состоянии 2.
Пример 13. В колебательном контуре возбуждены незатухающие гармонические колебания. Во сколько раз энергия электрического поля в конденсаторе больше энергии магнитного поля в катушке индуктивности в тот момент, когда сила тока в катушке в 4 раза меньше амплитудного значения?
Решение. Сравним два состояния колебательного контура:
- состояние 1 (характеризуется максимальным значением силы тока в катушке индуктивности I 0);
- промежуточное состояние 2 (характеризуется промежуточными значениями силы тока в катушке I и напряжения между обкладками конденсатора U).
Полная энергия колебательного контура в указанных состояниях определяется следующими формулами:
- в состоянии 1 —
,
где L — индуктивность катушки; I 0 — амплитуда силы тока (максимальное значение силы тока);
- в состоянии 2 —
,
где C — электроемкость конденсатора; I — сила тока в катушке индуктивности, I = I 0/4.
Закон сохранения полной энергии электромагнитного колебательного контура имеет следующий вид:
.
Разделим обе части записанного равенства на LI 2/2:
,
где W C — энергия электрического поля конденсатора в состоянии 2, W C = CU 2/2; W L — энергия магнитного поля катушки в состоянии 2, W L = LI 2/2.
Выразим из уравнения искомое отношение энергий:
и рассчитаем его значение:
.
В указанный момент времени отношение энергии электрического поля конденсатора к энергии магнитного поля катушки равно 15.
Пример 14. Заряд конденсатора электроемкостью 5,0 мкФ в колебательном контуре меняется по закону
q = 0,80 cos φ,
где q — заряд в кулонах; φ — фаза в радианах.
Найти энергию магнитного поля в катушке индуктивности при значении фазы 60°.
Решение. Сравним два состояния колебательного контура:
- состояние 1 (характеризуется максимальным значением заряда на обкладках конденсатора q 0);
- промежуточное состояние 2 (характеризуется промежуточными значениями силы тока в катушке I и заряда на обкладках конденсатора q).
Полная энергия колебательного контура в указанных состояниях определяется следующими формулами:
- в состоянии 1 —
,
где C — электроемкость конденсатора, C = 5,0 мкФ; q 0 — максимальное значение заряда на обкладках конденсатора, q 0 = 0,80 Кл;
- в состоянии 2 —
,
где L — индуктивность катушки; q — заряд на обкладках конденсатора в тот момент, когда в катушке индуктивности протекает ток силой I.
Закон сохранения полной энергии электромагнитного колебательного контура имеет следующий вид:
.
Выразим из записанного уравнения энергию магнитного поля катушки (искомую величину):
.
Рассчитаем заряд на обкладках конденсатора при заданной фазе колебаний:
q = 0,80 cos 60° = 0,40 Кл.
Подставим полученное значение в формулу для энергии магнитного поля катушки и вычислим ее значение:
кДж.
При заданной фазе колебаний заряда на обкладках конденсатора энергия магнитного поля в катушке индуктивности составляет 48 кДж.