Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

10.5. Изменение энергии при затухающих колебаниях

10.5.1. Выделение теплоты в механических колебательных системах с трением

В реальной колебательной системе из-за наличия трения колебания с течением времени затухают. Энергия колебательной системы при наличии трения уменьшается с течением времени — часть механической энергии переходит в теплоту:

Q = E ₁ − E ₂,

где E ₁ — полная механическая энергия системы в начальный момент времени; E ₂ — полная механическая энергия системы в конечный момент времени.

Для математического маятника полная механическая энергия в произвольный момент времени может быть вычислена по формуле

$E (t) = \frac{m v {(t)}^{2}}{2} + m g h (t)$ ,

где m — масса груза маятника; v(t) — модуль скорости груза в произвольный момент времени; h(t) — высота поднятия груза над положением равновесия в этот же момент времени.

Для решения задач о колебаниях математического маятника при наличии трения оказывается полезной табл. 10.1.

№	Положение	W_p	W_k	E = W_p + W_k
1	Равновесие	0	mv²_max/2	mv²_max/2
2	Крайнее	mgh_max	0	mgh_max
3	Промежуточное (мгновенное)	mgh	mv²/2	mv²/2 + mgh

Примечания: 1. Указанные положения маятника показаны на рис. 10.15. 2. В таблице использованы следующие обозначения: m — масса груза; g — модуль ускорения свободного падения; v — модуль мгновенной скорости груза в положении 3; h — высота подъема груза над положением равновесия в положении 3; v _max — модуль максимальной скорости груза в положении 1; h _max — максимальная высота подъема груза над положением равновесия в положении 2.

Рис. 10.15

Важно помнить, что в системах с трением значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце табл. 10.1, различны для указанных положений маятника.

Для пружинного маятника полная механическая энергия в произвольный момент времени может быть вычислена по формуле

$E (t) = \frac{k x {(t)}^{2}}{2} + \frac{m v {(t)}^{2}}{2}$ ,

где m — масса груза маятника; k — коэффициент жесткости (упругости) пружины маятника; x(t) — деформация (растяжение или сжатие) пружины маятника в произвольный момент времени; v(t) — модуль скорости груза в этот же момент времени.

Для решения задач о колебаниях пружинного маятника при наличии трения окажется полезной табл. 10.2.

Таблица 10.2

№	Положение	W_p	W_k	E = W_p + W_k
1	Равновесие	0	mv²_max/2	mv²_max/2
2	Крайнее	k(Δx_max)²/2	0	k(Δx_max)²/2
3	Промежуточное (мгновенное)	k(Δx)²/2	mv²/2	mv²/2 + k(Δx)²/2

Примечания: 1. Указанные положения маятника показаны на рис. 10.16. 2. В таблице использованы следующие обозначения: m — масса груза; v — модуль мгновенной скорости груза в положении 3; Δx — деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 3; v _max — модуль максимальной скорости груза в положении 1; Δx _max — максимальная деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 2.

Рис. 10.16

Важно помнить, что в системах с трением значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце табл. 10.2, различны для указанных положений маятника.

Пример 15. Пружинный маятник совершает колебания. Начальная энергия колебаний маятника составляет 250 мДж. За время, равное периоду, энергия колебаний уменьшается на 20 %. Найти, какое количество энергии перейдет в теплоту за два полных колебания пружинного маятника.

Решение. Энергия пружинного маятника при наличии трения уменьшается с течением времени.

Сравним энергии трех состояний пружинного маятника:

начального —

E ₁ = E ₀,

где E ₀ — начальная энергия колебаний, E ₀ = 250 мДж;

промежуточного (после одного полного колебания) —

E ₂ = 0,8E ₁ = 0,8E ₀,

так как энергия E ₁ уменьшается на 20 % за одно полное колебание;

конечного (после двух полных колебаний) —

E ₃ = 0,8E ₂ = (0,8)²E ₀.

За два полных колебания в теплоту переходит

Q = E ₁ − E ₃,

где E ₁ — полная механическая энергия пружинного маятника в начальном состоянии; E ₃ — полная механическая энергия пружинного маятника в конечном состоянии.

Подстановка выражений для E ₁ и E ₃ позволяет получить результат

$Q = E_{0} - {(0,8)}^{2} E_{0} = 0,36 E_{0} =$

$= 0,36 \cdot 250 \cdot 10^{- 3} = 90 \cdot 10^{- 3} Дж = 90$ мДж.

За два полных колебания в теплоту перейдет 90 мДж.

Физика