Физика

Электромагнитные колебания, возникающие в идеальном колебательном контуре (при отсутствии в нем активного сопротивления), описываются уравнениями, аналогичными уравнениям механических колебаний. В идеальном электромагнитном контуре заряд на обкладках конденсатора, разность потенциалов (напряжение) между его обкладками и сила тока в катушке индуктивности изменяются с течением времени по гармоническим законам.

Зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени описывается уравнениями:

$q\left(t\right)=q_{\text{max}}\sin (\omega t+{\phi }_0)$ или $q\left(t\right)=q_{\text{max}}\cos (\omega t+{\phi }_0)$,

где q _max — максимальное значение заряда (амплитуда заряда); φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ₀; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора максимален), то для описания колебаний заряда выбирают формулу

$q\left(t\right)=q_{\text{max}}\cos \omega t$;

2) если колебания начинаются при полностью разряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора равен нулю), то для описания колебаний заряда выбирают формулу

$q\left(t\right)=q_{\text{max}}\sin \omega t$.

Зависимость напряжения между обкладками конденсатора от времени описывается уравнениями:

$U\left(t\right)=U_{\text{max}}\sin (\omega t+{\phi }_0)$ или $U\left(t\right)=U_{\text{max}}\cos (\omega t+{\phi }_0)$,

где U _max — максимальное значение напряжения (амплитуда напряжения); φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ₀; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора и разность потенциалов на его обкладках максимальны), то для описания колебаний напряжения выбирают формулу

U(t) = U _maxcos ωt;

2) если колебания начинаются при полностью разряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора и разность потенциалов на его обкладках равны нулю), то для описания колебаний напряжения выбирают формулу

$U\left(t\right)=U_{\text{max}}\sin \omega t$.

Зависимость силы тока в  катушке индуктивности от времени описывается уравнениями:

$I\left(t\right)=I_{\text{max}}\sin (\omega t+{\phi }_0)$ или $I\left(t\right)=I_{\text{max}}\cos (\omega t+{\phi }_0)$,

где I _max — максимальное значение силы тока (амплитуда силы тока); φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ₀; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если электромагнитные колебания начинаются при максимальной силе тока в катушке индуктивности, то для описания колебаний силы тока выбирают формулу

$I\left(t\right)=I_{\text{max}}\cos \omega t$;

2) если электромагнитные колебания начинаются при отсутствии силы тока в катушке индуктивности, то для описания колебаний силы тока выбирают формулу

$I\left(t\right)=I_{\text{max}}\sin \omega t$.

При решении задач на электромагнитные гармонические колебания следует помнить, что одно полное колебание происходит за время, равное периоду колебаний; при этом любая из величин, изменяющихся по гармоническому закону (заряд, напряжение, сила тока), проходит ряд последовательных состояний, возвращаясь в исходное состояние с начальным значением соответствующей величины:

1. Если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (рис. 10.13), то через время, равное:

• четверти периода (t = T/4), конденсатор полностью разряжается, а в катушке индуктивности течет максимальный ток в определенном направлении;
• половине периода (t = T/2), ток в катушке индуктивности полностью исчезает, а на обкладках конденсатора вновь появляется максимальный заряд, однако обкладки конденсатора меняют знак (полярность);
• трем четвертям периода (t = 3T/4), в катушке индуктивности сила тока вновь принимает максимальное значение, однако ток в этом случае течет в противоположном направлении;
• периоду (t = T), колебательный контур возвращается в исходное состояние: конденсатор полностью заряжен, его обкладки имеют исходную полярность, ток в катушке индуктивности отсутствует.

2. Если колебания начинаются при максимальном токе в катушке индуктивности (рис. 10.14), то через время, равное:

• четверти периода (t = T/4), ток в катушке полностью исчезает, а на обкладках конденсатора появляется максимальный заряд;
• половине периода (t = T/2), ток в катушке вновь принимает максимальное значение, однако направление тока при этом противоположно первоначальному, конденсатор полностью разряжается;
• трем четвертям периода (t = 3T/4), в катушке индуктивности ток вновь отсутствует, а обкладки конденсатора заряжаются полностью, однако полярность обкладок (знак заряда) противоположная;
• периоду (t = T), колебательный контур возвращается в исходное состояние: в катушке течет максимальный ток в первоначальном направлении, а конденсатор полностью разряжен.

Мгновенные значения (значения в один и тот же произвольный момент времени) заряда на обкладках конденсатора, напряжения между ними и силы тока в катушке связаны между собой соотношениями:

• величины заряда на обкладках конденсатора и напряжения между ними —

q(t) = CU(t),

где q(t) — мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора; C — электроемкость конденсатора; U(t) — мгновенное значение напряжения на его обкладках;

• величины заряда на обкладках конденсатора и модуля силы тока в катушке индуктивности —

I(t) = |ωq ^*(t)|,

где I(t) — мгновенное значение силы тока в катушке индуктивности; ω — циклическая частота колебаний; q ^*(t) — мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора, q ^*(t) = q _maxcos(ωt + π/2).

Максимальные значения заряда на обкладках конденсатора, напряжения между ними и силы тока в катушке связаны между собой соотношениями:

• величины максимального заряда на обкладках конденсатора и максимального значения напряжения —

q _max = CU _max,

где q _max — максимальный заряд на обкладках конденсатора; C — электроемкость конденсатора; U _max — максимальная разность потенциалов (напряжение) между обкладками конденсатора;

• величины максимального заряда на обкладках конденсатора и максимального значения силы тока в катушке индуктивности —

I _max = ωq _max,

где I _max — максимальное значение силы тока в катушке индуктивности; ω — циклическая частота колебаний; q _max — максимальный заряд на обкладках конденсатора.