Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

10.3. Уравнения гармонических колебаний

10.3.1. Уравнения механических колебаний

При гармонических колебаниях различные колебательные системы (математический и пружинный маятники) описываются одинаковыми уравнениями. Материальная точка при гармонических колебаниях проходит ряд положений, смещаясь по обе стороны от положения равновесия на равные расстояния.

Смещение материальной точки от положения равновесия характеризует ее положение в пространстве в конкретный момент времени (рис. 10.10). Зависимость смещения (координаты) от времени при гармонических колебаниях описывается уравнениями:

$x (t) = x_{max} \sin (ω t + φ_{0})$ или $x (t) = x_{max} \cos (ω t + φ_{0})$ ,

где x _max — максимальное значение смещения материальной точки от положения равновесия (амплитуда), x _max = A; φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ₀; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Рис. 10.10

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия, то для смещения материальной точки выбирают формулу

x(t) = x _maxsin ωt;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения, то для смещения материальной точки выбирают формулу

x(t) = x _maxcos ωt.

Смещение материальной точки:

в положении равновесия равно нулю: x(t) = 0;
крайнем положении равно максимальному значению — амплитуде: x(t) = x _max = A.

Скорость материальной точки при гармонических колебаниях изменяется с течением времени также по гармоническому закону; зависимость проекции скорости на координатную ось, выбранную вдоль линии ее движения, от времени описывается уравнениями:

$v_{x} (t) = v_{max} \cos (ω t + φ_{0})$ или $v_{x} (t) = - v_{max} \sin (ω t + φ_{0})$ ,

где v _max — максимальное значение проекции скорости (амплитуда скорости), v _max = ωA; φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ₀; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия, то для проекции скорости выбирают формулу

v _x(t) = v _maxcos ωt;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения, то для проекции скорости выбирают формулу

v _x(t) = −v _maxsin ωt.

Значение скорости материальной точки:

в положении равновесия максимально: v(t) = v _max = ωA;
крайнем положении равно нулю: v(t) = 0.

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях изменяется с течением времени также по гармоническому закону; зависимость проекции ускорения на координатную ось, направленную в сторону смещения, от времени описывается уравнениями:

a _x(t) = −a _maxsin(ωt + φ₀) или a _x(t) = −a _maxcos(ωt + φ₀),

где a _max — максимальное значение проекции ускорения (амплитуда ускорения), a _max = ω²A; φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ₀; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия, то для проекции ускорения выбирают формулу

a _x(t) = −a _maxsin ωt;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения, то для проекции ускорения выбирают формулу

a _x(t) = −a _maxcos ωt.

Значение ускорения материальной точки:

в положении равновесия равно нулю: a(t) = 0;
крайнем положении значение ускорения максимально: a(t) = a _max = ω²A.

При решении задач на механические гармонические колебания следует помнить, что одно полное колебание происходит за время, равное периоду колебаний; при этом материальная точка проходит ряд последовательных состояний, возвращаясь в исходное положение:

если колебания начинаются из положения равновесия (рис. 10.11), то она последовательно перемещается из точки A в точку В, затем возвращается в точку A, после чего — в точку C, затем вновь попадает в точку A (в этом случае положением равновесия является точка A);
если колебания начинаются из крайнего положения (рис. 10.12), то она последовательно перемещается из точки A в точку В, затем — в точку C, после чего возвращается в точку B, затем вновь попадает в точку A (в этом случае положением равновесия является точка B).

Рис. 10.11

Рис. 10.12

При механических гармонических колебаниях материальная точка:

за одно полное колебание проходит путь, равный четырем амплитудам:

S ₁ = 4A,

ее фаза изменяется на величину, равную 2π:

∆φ₁ = 2π;

за n полных колебаний материальная точка проходит путь

S _n = 4An,

ее фаза изменяется на величину

∆φ_n = 2πn.

Пример 7. Точка совершает колебания по закону

x(t) = 80,0 cos(31,4t + 62,8),

где x — смещение в сантиметрах; t — время в секундах.

Найти фазу колебаний через 500 мс после начала процесса.

Решение. Фаза гармонических колебаний определяется формулой

φ = ωt + φ₀,

где ω — циклическая частота колебаний; t — время; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Согласно условию задачи закон изменения фазы колебаний с течением времени имеет следующий вид:

φ(t) = 31,4t + 62,8.

Сопоставление с предыдущей формулой дает:

ω = 31,4 рад/с; φ₀ = 62,8 рад.

В указанный момент времени t = 500 мс фаза имеет значение

φ(0,5 с) = 31,4 ⋅ 500 ⋅ 10⁻³ + 62,8 = 78,5 рад.

Данное значение фазы получено в Международной системе единиц, т.е. в радианах.

Пример 8. Тело совершает гармонические колебания с частотой 1 Гц и амплитудой 5 см. Рассчитать максимальное значение ускорения данного тела.

Решение. Максимальное значение ускорения определяется формулой

a _max = ω²A,

где ω — циклическая частота колебаний; A — амплитуда колебаний.

Амплитуда колебаний задана в условии задачи:

A = 5 см,

а циклическая частота колебаний определяется формулой

ω = 2πν,

где ν — частота колебаний, ν = 1 Гц.

Подставим выражение для циклической частоты в формулу для вычисления максимального ускорения:

a _max = (2πν)²A.

Вычислим, для удобства считая π² ≈ 10:

a _max ≈ 4 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 10⁻² = 2 м/с².

Максимальное значение ускорения тела при гармонических колебаниях с указанными характеристиками составляет 2 м/с².

Пример 9. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 24 с. Найти минимальный интервал времени, за который точка смещается из положения равновесия на половину амплитуды.

Решение. Материальная точка начинает движение из положения равновесия. В этом случае смещение материальной точки от положения равновесия описывается законом

x(t) = x _maxsin ωt,

где x _max — максимальное значение смещения точки от положения равновесия (амплитуда гармонических колебаний), x _max = A; ω — циклическая частота колебаний; начальная фаза колебаний при таком выборе уравнения равна нулю.

В начальный момент времени t = 0 смещение материальной точки от положения равновесия также равно нулю: x(0) = 0.

Запишем данное уравнение для момента времени t = τ, когда смещение составляет половину амплитуды:

$x (τ) = x_{max} \sin ω τ = \frac{x_{max}}{2}$ .

Преобразование уравнения к виду

$\sin ω τ = \frac{1}{2}$

позволяет найти минимальное значение произведения:

$ω τ = arccos (1 / 2) = π / 6$ .

С учетом равенства

$ω = \frac{2 π}{T}$

искомый момент времени составляет

$τ = \frac{T}{12} = \frac{24}{12} = 2,0$ с.

Следовательно, смещение материальной точки от положения равновесия на половину амплитуды произойдет через минимальный интервал времени, равный 2,0 с.

Физика