Физика
Электромагнитные колебания, возникающие в идеальном колебательном контуре (при отсутствии в нем активного сопротивления), описываются уравнениями, аналогичными уравнениям механических колебаний. В идеальном электромагнитном контуре заряд на обкладках конденсатора, разность потенциалов (напряжение) между его обкладками и сила тока в катушке индуктивности изменяются с течением времени по гармоническим законам.
Зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени описывается уравнениями:
или ,
где q max — максимальное значение заряда (амплитуда заряда); φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ0; φ0 — начальная фаза колебаний.
Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:
1) если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора максимален), то для описания колебаний заряда выбирают формулу
;
2) если колебания начинаются при полностью разряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора равен нулю), то для описания колебаний заряда выбирают формулу
.
Зависимость напряжения между обкладками конденсатора от времени описывается уравнениями:
или ,
где U max — максимальное значение напряжения (амплитуда напряжения); φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ0; φ0 — начальная фаза колебаний.
Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:
1) если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора и разность потенциалов на его обкладках максимальны), то для описания колебаний напряжения выбирают формулу
U(t) = U maxcos ωt;
2) если колебания начинаются при полностью разряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора и разность потенциалов на его обкладках равны нулю), то для описания колебаний напряжения выбирают формулу
.
Зависимость силы тока в катушке индуктивности от времени описывается уравнениями:
или ,
где I max — максимальное значение силы тока (амплитуда силы тока); φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ0; φ0 — начальная фаза колебаний.
Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:
1) если электромагнитные колебания начинаются при максимальной силе тока в катушке индуктивности, то для описания колебаний силы тока выбирают формулу
;
2) если электромагнитные колебания начинаются при отсутствии силы тока в катушке индуктивности, то для описания колебаний силы тока выбирают формулу
.
При решении задач на электромагнитные гармонические колебания следует помнить, что одно полное колебание происходит за время, равное периоду колебаний; при этом любая из величин, изменяющихся по гармоническому закону (заряд, напряжение, сила тока), проходит ряд последовательных состояний, возвращаясь в исходное состояние с начальным значением соответствующей величины:
1. Если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (рис. 10.13), то через время, равное:
- четверти периода (t = T/4), конденсатор полностью разряжается, а в катушке индуктивности течет максимальный ток в определенном направлении;
- половине периода (t = T/2), ток в катушке индуктивности полностью исчезает, а на обкладках конденсатора вновь появляется максимальный заряд, однако обкладки конденсатора меняют знак (полярность);
- трем четвертям периода (t = 3T/4), в катушке индуктивности сила тока вновь принимает максимальное значение, однако ток в этом случае течет в противоположном направлении;
- периоду (t = T), колебательный контур возвращается в исходное состояние: конденсатор полностью заряжен, его обкладки имеют исходную полярность, ток в катушке индуктивности отсутствует.
2. Если колебания начинаются при максимальном токе в катушке индуктивности (рис. 10.14), то через время, равное:
- четверти периода (t = T/4), ток в катушке полностью исчезает, а на обкладках конденсатора появляется максимальный заряд;
- половине периода (t = T/2), ток в катушке вновь принимает максимальное значение, однако направление тока при этом противоположно первоначальному, конденсатор полностью разряжается;
- трем четвертям периода (t = 3T/4), в катушке индуктивности ток вновь отсутствует, а обкладки конденсатора заряжаются полностью, однако полярность обкладок (знак заряда) противоположная;
- периоду (t = T), колебательный контур возвращается в исходное состояние: в катушке течет максимальный ток в первоначальном направлении, а конденсатор полностью разряжен.
Мгновенные значения (значения в один и тот же произвольный момент времени) заряда на обкладках конденсатора, напряжения между ними и силы тока в катушке связаны между собой соотношениями:
- величины заряда на обкладках конденсатора и напряжения между ними —
q(t) = CU(t),
где q(t) — мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора; C — электроемкость конденсатора; U(t) — мгновенное значение напряжения на его обкладках;
- величины заряда на обкладках конденсатора и модуля силы тока в катушке индуктивности —
I(t) = |ωq *(t)|,
где I(t) — мгновенное значение силы тока в катушке индуктивности; ω — циклическая частота колебаний; q *(t) — мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора, q *(t) = q maxcos(ωt + π/2).
Максимальные значения заряда на обкладках конденсатора, напряжения между ними и силы тока в катушке связаны между собой соотношениями:
- величины максимального заряда на обкладках конденсатора и максимального значения напряжения —
q max = CU max,
где q max — максимальный заряд на обкладках конденсатора; C — электроемкость конденсатора; U max — максимальная разность потенциалов (напряжение) между обкладками конденсатора;
- величины максимального заряда на обкладках конденсатора и максимального значения силы тока в катушке индуктивности —
I max = ωq max,
где I max — максимальное значение силы тока в катушке индуктивности; ω — циклическая частота колебаний; q max — максимальный заряд на обкладках конденсатора.
Пример 10. В идеальном контуре возбуждены электромагнитные гармонические колебания, в результате которых напряжение между обкладками конденсатора изменяется по закону
,
где U — напряжение в вольтах; t — время в секундах.
Найти величину заряда на обкладках конденсатора через 0,50 с после начала колебаний, если конденсатор имеет электроемкость 20 мкФ.
Решение. Напряжение на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону и через указанное время t = 0,50 с составляет
В.
Величина заряда на обкладках конденсатора связана с разностью потенциалов (напряжением) между ними формулой
,
где q — искомый заряд в указанный момент времени; C — электроемкость конденсатора, C = 20 мкФ; U — рассчитанная разность потенциалов (напряжение) между обкладками конденсатора в тот же момент времени, В.
Отсюда следует, что искомый заряд определяется произведением
q = CU
и составляет
мкКл.
Через 0,50 с после начала колебаний заряд конденсатора равен 7,1 мкКл.