Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

Арифметические и алгебраические преобразования

Одночлены и многочлены. Действия над многочленами. Разложение многочлена на множители

Одночленом называется число или произведение чисел, переменных и степеней переменных с натуральным показателем.

Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя (коэффициента одночлена) и буквенного выражения, в котором каждая из переменных встречается однажды и в натуральной степени. Например:

8 a^{3} x^{2}

;

- 15 m^{5}

.

Сумма показателей степеней всех переменных называется степенью одночлена. Например:

5 x y

— одночлен 2-й степени;

8 a^{3} x^{2}

— одночлен 5-й степени.

Одночлены, приведенные к стандартному виду, называются подобными, если они имеют одинаковую буквенную часть. Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным, или 0. Сложение и вычитание подобных одночленов называется приведением подобных членов.

Многочленом называется алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность двух или нескольких одночленов (членов многочлена).

Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен. Например,

y x^{2} + 2 x y + x^{3} y^{2}

— многочлен 5-й степени.

Если все одночлены, входящие в многочлен, записаны в стандартном виде, приведены подобные члены и одночлены расположены в порядке убывания (возрастания) степеней, то такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Многочленом с одной переменной

x

степени

n

называют выражение вида

P_{n} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

, где

a_{n}

,

a_{n - 1}

, ...,

a_{1}

,

a_{0}

— любые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем

a_{n} \neq 0

(

n

— целое неотрицательное число) называют старшим коэффициентом многочлена

P_{n} (x)

.

Многочлен первой степени называют линейным многочленом, многочлен второй степени — квадратным, многочлен третьей степени — кубическим многочленом.

Многочлен со старшим коэффициентом 1 называют приведенным многочленом.

Если вместо переменной

x

в многочлен

P_{n} (x)

подставить действительное число

c

, то в результате получится число

P_{n} (c)

, которое называют значением многочлена

P_{n} (x)

при

x = c

, т.е.

P_{n} (c) = a_{n} c^{n} + \dots + a_{1} c + a_{0}

.

Число c называют корнем многочлена

P_{n} (x)

, если

P_{n} (c) = 0

. Например, 2 — корень многочлена

P_{n} (x) = x^{2} - x - 2

, так как

P_{n} (2) = 4 - 2 - 2 = 0

.

Действия над многочленами

Сложение. Чтобы сложить многочлены, достаточно записать все члены с их знаками, а затем привести подобные члены.
Вычитание. Чтобы вычесть многочлен из многочлена, достаточно к уменьшаемому прибавить многочлен, противоположный вычитаемому.
Умножение. Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.
Деление. Деление многочленов выполнимо «уголком», если степень многочлена-делимого не меньше степени многочлена-делителя. Например:

Способы разложения многочлена на множители:

Вынесение за скобки общего множителя и группировка. Например:

$5 x^{3} - 5 x = 5 x (x^{2} - 1) = 5 x (x + 1) (x - 1)$ ;

$x^{2} - x^{3} + 4 - 4 x = (x^{2} - x^{3}) + (4 - 4 x) = x^{2} (1 - x) + 4 (1 - x) =$

$= (1 - x) (x^{2} + 4)$ .
Группировка с представлением одного слагаемого в виде двух или трех слагаемых. Например:

$a^{2} - 7 a + 12 = a^{2} - 3 a - 4 a + 12 = (a^{2} - 3 a) - (4 a - 12) =$

$= a (a - 3) - 4 (a - 3) = (a - 3) (a - 4)$ ;

$x^{3} + x^{2} + x + 3 = x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 - 1 =$

$= (x^{3} - 1) + (x^{2} - 1) + (x - 1) =$

$= (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (x + 1) + (x - 1) \cdot 1 =$

$= (x - 1) (x^{2} + x + 1 + x + 1 + 1) = (x - 1) (x^{2} + 2 x + 3)$ .
Использование формул сокращенного умножения. Например:

$1 - x^{12} = 1 - {(x^{6})}^{2} = (1 - x^{3}) (1 + x^{3}) (1 - x^{2} + x^{4}) =$

$= (1 - x) (1 + x + x^{2}) (1 + x) (1 - x + x^{2}) (1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})$ ;

$x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1 = x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 =$

$= {(x^{2} - x)}^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) =$

$= {(x^{2} - x)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = (x^{2} - x - x + 1) (x^{2} - x + x - 1) =$

$= {(x - 1)}^{2} (x^{2} - 1) = {(x - 1)}^{3} (x + 1)$ .
Применение метода неопределенных коэффициентов. Два многочлена тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях $x$ . Например, многочлен $x^{3} + 2 x^{2} + 1$ тождественно равен многочлену ${a x}^{3} + b x^{2} + 1$ , если $a = 1$ ; $b = 2$ .

Математика