Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

Арифметические и алгебраические преобразования

Степени и корни

Степенью с натуральным показателем называется произведение

,

где

a

— основание степени (

a \in R

),

n

— показатель степени

n \in N

,

n > 1

. При

n = 1

a^{1} = a

.

Степень с нулевым показателем:

a^{0} = 1

, если

a \neq 0

, т.е. любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1. Выражение

0^{0}

не имеет смысла.

Свойства степени с натуральным показателем

$a^{n} a^{m} = a^{n + m} .$
$a^{n} {: a}^{m} = a^{n - m},$ $n \geq m$ .
${(a^{n})}^{m} = a^{n m} .$
${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n} .$
${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}},$ $b \neq 0$ .

Степенью с отрицательным целым показателем называется число

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}},

где

a \in R

,

a \neq 0

,

n \in N

.

Корнем n-й степени (

n \in N

,

n \geq 2

) из действительного числа

a

называют такое действительное число

b

, n-я степень которого равна

a

, т.е.

b^{n} = a

.

Арифметическим корнем n-й степени (

n \in N

,

n \geq 2

) из числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Обозначают арифметический корень с помощью знака радикала.

Под

\sqrt[n]{a}

условимся понимать:

1) единственное значение корня в случае нечетного

n

;

2) арифметический корень в случае четного

n

;

3) 0, если

a = 0

, при любом

n

.

Заметим, что

\sqrt[n]{a^{n}} = a

при нечетном n, но

\sqrt[n]{a^{n}} = |a|

при четном n. Так, например:

\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{2})}^{3}} = 1 - \sqrt{2}

;

\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} = |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1;

\sqrt{{(x - a)}^{2}} = |x - a|,

где

|x - a| = {\begin{matrix} x - a, если x \geq a, \\ a - x, если x < a . \end{matrix}

Свойства арифметического корня

1. $\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n k]{a^{m k}} .$
2. $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b} .$
3. $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} .$
4. $\sqrt[n]{a} \sqrt[m]{b} = \sqrt[n m]{a^{m} b^{n}} .$
5. $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[n m]{\frac{a^{m}}{b^{n}}} .$
6. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n m]{a} .$
7. ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a .$
8. $\sqrt[2 k]{a^{2 k}} = |a|$ — справедливо для любого $a \in R$ , $k \in N .$
9. $\sqrt[2 k + 1]{a^{2 k + 1}} = a,$ $a \in R$ ; $k \in N;$

Примечание. В свойствах 1-8

a \geq 0;

в свойствах 2 и 4

b \geq 0;

в свойствах 3 и 5

b > 0;

m, n \in N;

m \geq 2;

n \geq 2 .

Формула сложного корня (радикала)

\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^{2} - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^{2} - B}}{2}} .

Степенью с рациональным показателем называется число $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}},$ где $a \in R$ , $a > 0,$ $m \in Z,$ $n \in N,$ $n \neq 1 .$

Если $\frac{m}{n}$ — положительное рациональное число, то $a^{\frac{m}{n}}$ существует и при $a = 0$ $(0^{\frac{m}{n}} = 0) .$

Свойства степени с рациональным показателем
Если a > 0, b > 0 и p, q — произвольные рациональные числа, то верны следующие свойства:

1. $a^{p} a^{q} = a^{p + q}$
2. $\frac{a^{p}}{a^{q}} = a^{p - q}$
3. ${(a^{p})}^{q} = a^{p q}$
4. ${(a b)}^{p} = a^{p} b^{p}$
5. ${(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$

Пример 26. Упростить выражение $\frac{\frac{2 a}{\sqrt{a + b}} + \sqrt{a - b}}{1 + \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}} \frac{2 b}{(a + b) \sqrt{a + b} - (a - b) \sqrt{a - b}} .$

Решение. Используя свойство 3, представим корень из частного в знаменателе первой дроби в виде $\sqrt{\frac{a - b}{a + b}} = \frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b}} .$ Это возможно потому, что $a > b > 0,$ значит $a - b > 0,$ $a + b > 0$ . Внесем множители $a + b$ и $a - b$ под корень в знаменателе второй дроби, а затем применим формулы разности кубов и разности квадратов.

$\frac{\frac{2 a}{\sqrt{a + b}} + \sqrt{a - b}}{1 + \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}} \frac{2 b}{(a + b) \sqrt{a + b} - (a - b) \sqrt{a - b}} =$ $= \frac{\frac{2 a}{\sqrt{a + b}} + \sqrt{a - b}}{1 + \frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b}}} \frac{2 b}{\sqrt{{(a + b)}^{3}} - \sqrt{{(a - b)}^{3}}} =$

$= \frac{\frac{2 a + \sqrt{a^{2} - b^{2}}}{\sqrt{a + b}}}{\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b}}} \frac{2 b}{(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}) (a + b + \sqrt{a^{2} - b^{2}} + a - b)} =$

$= \frac{2 a + \sqrt{a^{2} - b^{2}}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}} \frac{2 b}{(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}) (2 a + \sqrt{a^{2} - b^{2}})} =$

$= \frac{2 b}{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b})} = \frac{2 b}{a + b - a + b} = \frac{2 b}{2 b} = 1 .$

Ответ: 1.

Пример 27. Упростить выражение $(\frac{1 - a^{2}}{(\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})} + 1) \sqrt{1 - 2 a + a^{2}},$

указав область допустимых значений переменной a.

Решение. Область допустимых значений переменной a состоит из тех значений, при которых существуют все квадратные корни и знаменатели дробей отличны от нуля. Так как $\sqrt{a}$ существует при $a \geq 0;$ $- \sqrt{a} \neq 0$ при $a \neq 1$ ; $1 + \sqrt{a} \neq 0$ при всех $a \geq 0;$ $1 - 2 a + a^{2} = {(2 - a)}^{2} \geq 0$ для всех $a \in R,$ следовательно, $a \geq 0,$ $a \neq 1$ .

Определим, при каких значениях переменной a выражение, стоящее в первых скобках знаменателя дроби, обращается в 0. Для этого представим его в виде

$\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a} = \frac{1 - a \sqrt{a} + \sqrt{a} - a}{1 - \sqrt{a}} = \frac{1 - a + \sqrt{a} (1 - a)}{a - \sqrt{a}} = \frac{(1 - a) (a + \sqrt{a})}{1 - \sqrt{a}} .$

Числитель и знаменатель этой дроби одновременно обращаются в 0 при $a = 1$ , но это значение уже исключено из области допустимых значений a. Аналогично для выражения, стоящего во вторых скобках знаменателя дроби, имеем: $\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a} = \frac{1 + a \sqrt{a} - \sqrt{a} - a}{1 + \sqrt{a}} = \frac{1 - a + \sqrt{a} (a - 1)}{1 + \sqrt{a}} =$

$= \frac{(1 - a) - \sqrt{a} (1 - a)}{a + \sqrt{a}} = \frac{(1 - a) (1 - \sqrt{a})}{1 + \sqrt{a}} .$

При $a = 0$ эта дробь равна 0, однако это значение исключено из области допустимых значений переменной a. Таким образом, область допустимых значений переменной a: $a \geq 0,$ $a \neq 1 .$ Упростим исходное выражение

$(\frac{1 - a^{2}}{(\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})} + 1) \sqrt{1 - 2 a + a^{2}} =$

$= (\frac{1 - a^{2}}{(\frac{(1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a} + a)}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) (\frac{(1 + \sqrt{a}) (1 - \sqrt{a} + a)}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})} + 1) \sqrt{{(1 - a)}^{2}} =$

$= (\frac{1 - a^{2}}{{(1 + \sqrt{a})}^{2} {(1 - \sqrt{a})}^{2}} + 1) |1 - a| = (\frac{(1 - a) (1 + a)}{{(1 - a)}^{2}} + 1) |1 - a| =$

$= \frac{2}{1 - a} |1 - a| = {\begin{matrix} \frac{2}{1 - a} (1 - a) = 2, если 1 - a > 0, \\ \frac{2}{1 - a} (a - 1) = - 2, если 1 - a < 0. \end{matrix}$

Ответ: 2 при $a \in [0; 1);$ -2 при $a \in (1; + \infty) .$

Математика