Математика

Общий тест

Арифметические и алгебраические преобразования

Арифметические и алгебраические выражения. Формулы сокращенного умножения

Числовым выражением называется выражение, составленное из чисел, знаков действий над ними (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, извлечения арифметического корня) и скобок. Если в числовом выражении можно выполнить все указанные в нем действия, то полученное число называется числовым значением данного выражения.

Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных, знаков действия над ними (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, извлечения арифметического корня) и скобок. Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Формулы сокращенного умножения

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .
$a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ или $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$ .
${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c .$
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) .$
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) .$
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) .$
${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b) .$
$a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) .$
$a^{3} - b^{3} = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b) .$

Пример 24. Вычислить: $2 : 3 \frac{1}{5} + (3 \frac{1}{4} : 13) : \frac{2}{3} + (2, 2 (7) - \frac{17}{36}) \frac{18}{65} .$

Решение. Обратим периодическую дробь 2,2(7) в обыкновенную:

$2, 2 (7) = 2 \frac{27 - 2}{90} = 2 \frac{5}{18} .$

Последовательно выполним действия:

1) $2 : 3 \frac{1}{5} = 2 : \frac{16}{5} = \frac{2 \cdot 5}{16} = \frac{5}{8};$

2) $3 \frac{1}{4} : 13 = \frac{13}{4} : \frac{13}{1} = \frac{13}{4} \frac{1}{13} = \frac{13 \cdot 1}{4 \cdot 13} = \frac{1}{4};$

3) $\frac{1}{4} : \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 8} = \frac{3}{8};$

4) $2 \frac{5}{18} - \frac{17}{36} = 2 \frac{10}{36} - \frac{17}{36} = 1 + \frac{36}{36} + \frac{10}{36} - \frac{17}{36} = 1 + \frac{46 - 17}{36} = 1 \frac{29}{36};$

5) $1 \frac{29}{36} \frac{18}{65} = \frac{65}{36} \frac{18}{65} = \frac{65 \cdot 18}{36 \cdot 65} = \frac{1}{2};$ 6) $\frac{5}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{2} = \frac{5 + 3 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$ .

Ответ: $1 \frac{1}{2} .$

Пример 25. Вычислить: $\frac{[1 \frac{1}{5} : (\frac{17}{40} + 0, 6 - 0, 005)] 1, 7}{0, 8 (3) + 1 \frac{1}{3} - 1 \frac{23}{30}} + \frac{4, 75 + 7 \frac{1}{2}}{33 : 4 \frac{5}{7}} : 0, 25 .$

Решение. Обратим периодическую дробь в обыкновенную:

$0, 8 (3) = \frac{83 - 8}{90} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6} .$

Последовательно выполним действия:

1) $\frac{17}{40} + 0, 6 - 0, 005 = 0, 425 + 0, 6 - 0, 005 = 1, 02;$

2) $1 \frac{1}{5} : 1, 02 = \frac{6}{5} : \frac{102}{100} = \frac{6}{5} : \frac{51}{50} = \frac{2 \cdot 10}{1 \cdot 17} = \frac{20}{17};$

3) $\frac{20}{17} 1, 7 = \frac{20}{17} \frac{17}{10} = 2;$

4) $0, 8 (3) + 1 \frac{1}{3} - 1 \frac{23}{30} = \frac{5}{6} + \frac{1}{3} - \frac{23}{30} = \frac{25 + 10 - 23}{30} 30 = \frac{12}{30} = \frac{2}{5};$

5) $2 : \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{2} = 5;$

6) $4, 75 + 7 \frac{1}{2} = 4, 75 + 7, 5 = 12, 25;$

7) $33 : 4 \frac{5}{7} = \frac{33}{1} : \frac{33}{7} = \frac{33 \cdot 7}{33} = 7;$

8) $12, 25 : 7 = 12 \frac{1}{4} : 7 = \frac{49}{4} \frac{1}{7} = \frac{7}{4};$

9) $\frac{7}{4} : 0, 25 = \frac{7}{4} : \frac{25}{100} = \frac{7}{4} \frac{4}{1} = 7;$

10) 5 + 7 = 12.

Ответ: 12.