Математика

Общий тест

Арифметические и алгебраические преобразования

Модуль действительного числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа a называют само это число a, если

a \geq 0

, и противоположное число

− a

, если

a < 0

. Модуль числа a обозначают

|a|

и записывают:

|a| = {\begin{cases} a, если a \geq 0, \\ − a, если a < 0 . \end{cases}

Геометрически

|a|

означает расстояние на координатной прямой от точки a до точки 0.

Свойства модуля действительного числа

$|a| \geq 0$ ;
$|a| = |− a|$ ;
$|a| \geq a$ ;
$|a b| = |a| \cdot |b|$ ;
$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ $(b \neq 0)$ ;
${|a|}^{2} = a^{2}$ ;
$|a + b| \leq |a| + |b|$ ;
$|a - b| = |b - a|$ .

При

b > 0

имеем:

$|a| = b$ тогда и только тогда, когда $a = - b$ или $a = b$ ;
$|a| < b$ тогда и только тогда, когда $− b < a < b$ ;
$|a| > b$ тогда и только тогда, когда $a < b$ или $a > b$ .

Необходимо отметить, что

\sqrt{a^{2}} = |a|

Пример 22. Раскрыть модуль:

а) $|\sqrt{3} − \sqrt{7}|$ ;

б) $|π −3|$ ;

в) $|1− \sqrt{2}|$ ;

г) $|\sqrt{5} −2|$ ;.

Решение.

а) $\sqrt{3} < \sqrt{7} \to \sqrt{3} − \sqrt{7} < 0$ . Так как модуль отрицательного числа равен числу противоположному, то $|\sqrt{3} − \sqrt{7}| =− (\sqrt{3} − \sqrt{7}) = \sqrt{7} − \sqrt{3}$ .

Ответ: $\sqrt{7} − \sqrt{3}$ .

б) $π > 3$ , значит, $π −3 > 0$ . По определению, модуль положительного числа есть само число. Значит, $|π −3| = π −3$ .

Ответ: $π −3$ .

в) Так как $1 < \sqrt{2}$ , то $1− \sqrt{2} < 0$ . Значит, $|1− \sqrt{2}| = \sqrt{2} −1$ .

Ответ: $\sqrt{2} − 1$ .

г) Так как $\sqrt{5} > 2$ , то $\sqrt{5} − 2 > 0$ . Значит, $|\sqrt{5} − 2| = \sqrt{5} − 2$ .

Ответ: $\sqrt{5} − 2$ .

Пример 23. Вычислить $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} - \sqrt{3}$ .

Решение. Рассмотрим подкоренное выражение $4 - 2 \sqrt{3}$ . Запишем его в виде квадрата разности двух чисел:

$4 - 2 \sqrt{3} = 4 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = 3 + 1 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = {(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 =$

$= {(\sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^{2} = {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ .

Тогда $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} - \sqrt{3} = \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} - \sqrt{3} = |\sqrt{3} - 1| - \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} = - 1$ .

Ответ: -1.