Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

Арифметические и алгебраические преобразования

Проценты

Процентом (%) числа а называется его сотая часть. Следовательно, само число составляет 100 процентов.

При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100 %, а ее часть — величина с — принимается за х % и составляется пропорция

\frac{b}{c} = \frac{100}{x}

.

Из этой пропорции определяют величину х:

x = \frac{c \cdot 100}{b}

.

Пример 16. Завод выпускал 852 изделий в месяц. В результате технического перевооружения он стал выпускать 1136 изделий в месяц. На сколько процентов увеличилась производительность завода?

Решение. Выпуск продукции увеличился на 1136 - 852 = 284 изделия. Обозначим через x число процентов, на которое увеличилась производительность:

852 - 100 %,

284 - x %.

Составим пропорцию $\frac{852}{284} = \frac{100}{x}$ , из которой найдем x: $x = \frac{284 \cdot 100}{852}$ ; $x = \frac{100}{3}$ ; $x = 33 \frac{1}{3}$ .

Итак, производительность завода увеличилась на $33 \frac{1}{3}$ %.

Ответ: $33 \frac{1}{3}$ %.

Пример 17. В результате увеличения производительности труда на 15 % завод стал выпускать 920 изделий в месяц. Сколько изделий в месяц выпускал завод ранее?

Решение. Обозначим через х количество изделий, выпускаемых заводом в месяц до увеличения производительности труда:

x — 100 %,

920 — 115 %.

Составим пропорцию $\frac{x}{920} = \frac{100}{115}$ , из которой найдем x: $x = \frac{920 \cdot 100}{115}$ ; x = 800.

Итак, ранее завод выпускал 800 изделий в месяц.

Ответ: 800.

Пример 18. Завод выпускает 500 изделий в год. На сколько изделий в год увеличится выпуск продукции, если производительность труда увеличится на 15 %?

Решение. Обозначим через х число изделий, на которое увеличится выпуск продукции в год:

500 — 100 %.

x — 15 %,

Составим пропорцию $\frac{500}{x} = \frac{100}{15}$ , из которой найдем x: $x = \frac{500 \cdot 15}{100}$ ; x = 75.

Итак, выпуск продукции увеличился на 75 изделий в год.

Ответ: 75.

Пример 19. Свежие грибы содержат по массе 90 % воды, а сухие — 12 %. Сколько килограммов сухих грибов получится из 22 кг свежих?

Решение. Если свежие грибы содержат 90 % воды, значит, «сухое вещество» в них составляет 10 %. Найдем массу «сухого вещества» в 22 кг свежих грибов: 22 · 0,1 = 2,2 (кг).

Так как в сухих грибах воды содержится 12 %, значит, «сухое вещество» в них составляет 88 %. Найдем массу сухих грибов: 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг).

Ответ: 2,5.

Пример 20. Найти натуральные числа $m$ и $n$ , для которых 35 % их суммы равно 150 % их разности. В ответ записать наименьшее из чисел.

Решение. По условию задачи $0, 35 (m + n) = 1, 5 (m - n)$ . Тогда $m = \frac{37}{23} n$ . Так как m и n — натуральные числа, то $n$ должно быть кратно 23, т.е. $n = 23 k$ , тогда $m = 37 k$ , $k \in N$ . Наименьшее из этих чисел $n = 23$ .

Ответ: 23.

Пример 21. Цену товара сначала повысили на 10 %, а затем понизили на столько же процентов. На сколько процентов уменьшилась первоначальная цена?

Решение. Пусть x — первоначальная цена. После повышения цены на 10 % новая цена составила 1,1x. После следующего понижения цена стала равна $1,1 x - 0,1 \cdot 1,1 x = 0,9 9 x$ . Значит, первоначальная цена уменьшилась на 1 %.

Ответ: 1.

Математика