Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

Арифметические и алгебраические преобразования

Целые, рациональные и действительные числа

Два числа, равные по модулю, но противоположные по знаку, называются противоположными.

Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 составляют вместе множество целых чисел. Множество целых чисел обозначается буквой

Z

.

Число вида $\frac{m}{n}$ , где $m, n \in N$ , называется обыкновенной дробью. Число $m$ называется числителем дроби, число $n$ — знаменателем.

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимнообратными.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное 0, то получится дробь, равная данной, т.е.

\frac{m}{n} = \frac{m \cdot p}{n \cdot p}

, где

p \neq 0

.

Число вида

\frac{m}{n}

, где

m \in Z

,

n \in N

, называется рациональным. Множество рациональных чисел обозначается буквой Q.

Правила выполнения арифметических действий над рациональными числами

Сложение $\frac{m}{n} + \frac{a}{b} = \frac{m b + a n}{n b}$ .
Вычитание $\frac{m}{n} - \frac{a}{b} = \frac{m b - a n}{n b}$ .
Умножение $\frac{m}{n} \cdot \frac{a}{b} = \frac{m a}{n b}$ .
Деление $\frac{m}{n} : \frac{a}{b} = \frac{m}{n} \cdot \frac{b}{a} = \frac{m b}{n a}$ .

Десятичные дроби — это такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель — степень числа 10, т.е. 10; 100; 1000 и т.д.

Десятичные дроби записываются без знаменателей. Сначала пишется целая часть числа, справа от нее ставится запятая; первая цифра после запятой означает число десятых (т.е. десятых долей единицы), вторая — сотых, третья — тысячных и т.д. Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.

Бесконечной называется десятичная дробь, у которой после запятой бесконечно много цифр.

Часто при расчетах нет необходимости в большой точности вычислений, в этом случае числа подлежат округлению, что значительно упрощает расчеты.

Округление — это математическая операция, позволяющая уменьшить количество знаков в числе за счёт замены числа его приближенным значением с определённой точностью.

При округлении числа до какого-нибудь разряда цифры во всех следующих разрядах заменяют нулями, а стоящие после запятой — отбрасывают.

Если цифра, следующая за остающимся разрядом:

равна 5, 6, 7, 8 или 9, то остающийся разряд увеличивают на 1;
равна 0, 1, 2, 3 или 4, то остающийся разряд оставляют без изменения.

Каждое рациональное число

\frac{m}{n}

может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Обыкновенная несократимая дробь

\frac{m}{n}

может быть записана конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда ее знаменатель не содержит никаких других простых множителей, кроме 2 или 5.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если у нее, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется, непосредственно следуя одна за другой. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом и записывают в скобках. Например, 244 : 33 = 7,393939… = 7,(39).

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называют чисто периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называют смешанной периодической.

Правила обращения периодической дроби в обыкновенную

1. Для обращения чистой периодической дроби в обыкновенную в числителе оставляют период десятичной дроби, а в знаменателе — число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.

Например:

0,(354) = \frac{354}{999} = \frac{118}{333}

;

5,(27) = 5 \frac{27}{99} = 5 \frac{3}{11}

.

2. Для обращения смешанной периодической десятичной дроби в обыкновенную в числителе берут число, стоящее в десятичной дроби до второго повторения периода, минус число, стоящее в десятичной дроби до периода; в знаменателе нужно писать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр в исходной десятичной дроби от запятой до периода.

Например:

0,5(36) = \frac{536 - 5}{990} = \frac{59}{110}

;

2,31(6) = 2 \frac{316 - 31}{900} = 2 \frac{285}{900} = 2 \frac{19}{60}

.

Бесконечная десятичная непериодическая дробь называется иррациональным числом.

Примерами иррациональных чисел служат квадратные корни из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел. Например,

\sqrt{3}

,

\sqrt{7}

,

\sqrt{11}

. Иррациональными являются числа

π \approx 3, 14159...

;

e \approx 2, 7183...

.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел. Множество действительных чисел обозначается буквой

R

.

Пример 12. При каких натуральных значениях $n$ дробь $\frac{2 n - 3}{n + 1}$ является целым числом?

Решение. Выделим целую часть данной дроби, разделив числитель на знаменатель: $\frac{2 n - 3}{n + 1} = 2 - \frac{5}{n + 1}$ .

Чтобы дробь $\frac{5}{n + 1}$ принимала целые значения, 5 должно быть кратно $(n + 1)$ . А это возможно, если $n + 1 = 1$ ; $n + 1 = −1$ ; $n + 1 = 5$ ; $n + 1 = −5$ . Откуда находим $n = 0$ ; $n = −2$ ; $n = 4$ ; $n = −6$ . Но по условию $n$ — число натуральное, поэтому в ответ запишем число 4.

Ответ: 4.

Пример 13. При каких натуральных значениях n число m, равное дроби $\frac{4 n + 3}{5 n + 2}$ , является целым?

Решение. Число будет целым, если m ≥ n и кратно n. Составим неравенство 4m + 3 ≥ 5m + 2. Решив его, получим, что n ≤ 1. Единственным натуральным значением n является число 1. Действительно, при n = 1 дробь $\frac{4 n + 3}{5 n + 2}$ принимает значение 1.

Ответ: 1.

Пример 14. Указать наибольшее целое $k$ , при котором дробь $\frac{12 k^{2} + 5 k + 6}{4 k + 3}$

является целым числом.

Решение. Выделим целую часть данной дроби, разделив числитель на знаменатель

Тогда $\frac{12 k^{2} + 5 k + 6}{4 k + 3} = 3 k - 1 + \frac{9}{4 k + 3}$ . Исходная дробь будет целым числом, если 9 делится на $(4 k + 3)$ . А это возможно, когда $4 k + 3 = −1$ ; $4 k + 3 = 1$ ; $4 k + 3 = −3$ ; $4 k + 3 = 3$ ; $4 k + 3 = −9$ ; $4 k + 3 = 9$ . Так как $k \in Z$ , то получим $k = −3$ ; $k = −1$ ; $k = 0$ . В ответ запишем большее значение $k$ .

Ответ: 0.

Математика