Математика

Пример 3. Найти НОД (32; 76).

Решение. Разложим данные числа на простые множители: 32 = 2⁵; 76 = 2² · 19. Следовательно, НОД (32; 76) = 2² = 4.

Ответ: 4.

Пример 4. Найти НОД (1044; 1512; 2436).

Решение. Разложим эти числа на простые множители:$$\text{1044}={\text{2}}^{\text{2}}·{\text{3}}^{\text{2}}·\text{29}\text{;}$$ $$\text{1512}={\text{2}}^{\text{3}}·{\text{3}}^{\text{3}}·\text{7;}$$ $$\text{2436}={\text{2}}^{\text{2}}·\text{3}·\text{7}·\text{29}\text{.}$$ Выпишем общие простые множители из разложений этих чисел: ${\text{2}}^{\text{2}}$, 3. Перемножим их.

Ответ: 12.

Пример 5. Найти НОД (42; 36).

Решение. Выпишем натуральные делители числа 42 — это 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Выберем из них наибольшее число, которое является делителем числа 36.

Ответ: 6.

Пример 6. Найти НОД (945, 301).

Решение. Воспользуемся алгоритмом Евклида:

Ответ: 7.

Пример 7. Найти НОД (493; 221).

Решение. Воспользуемся алгоритмом Евклида в виде последовательности делений с остатком. Удобно пользоваться схемой, приведенной ниже.

Итак, 17 — последний ненулевой остаток.

Ответ: 17.

Пример 8. Найти НОК (1044; 1512; 2436).

Решение. Разложим данные числа на простые множители:

$$\text{1044}={\text{2}}^{\text{2}}·{\text{3}}^{\text{2}}·\text{29;}$$ $$\text{1512}={\text{2}}^{\text{3}}·{\text{3}}^{\text{3}}·\text{7;}$$ $$\text{2436}={\text{2}}^{\text{2}}·\text{3}·\text{7}·\text{29.}$$

Выпишем все множители одного из них, например большего числа — 2436, и припишем к ним недостающие множители из разложений других чисел: ${\text{2}}^{\text{2}}·\text{3}·\text{7}·\text{29}·{\text{3}}^{\text{2}}·\text{2}$. Перемножив их, получим ответ.

Ответ: 43 848.

Пример 9. Произведение двух чисел равно 10 800, а их НОД равен 60. Найти НОК этих чисел.

Решение. Воспользуемся формулой $\text{НОК}\left(a;b\right)·\text{НОД}\left(a;b\right)=a·b$. Из условия известно, что $a·b=\text{10 800}$; НОД (a;b) = 60. Тогда

НОК (a; b) = 10 800 : 60 = 180.

Ответ: 180.

Пример 10. Найти все пары натуральных чисел, НОД которых равен 5, а НОК равно 105.

Решение. По условию задачи, НОД $\left(a;b\right)=\text{5;}$ НОК $\left(a;b\right)=\text{105}$, где а и b — искомые числа. Так как числа имеют НОД, то каждое из них можно разложить на множители:$a=m·n$; $b=m·k$, где $m$, $n$, $k$ — натуральные числа. Значит, НОД (a; b) = m = 5; НОК (a; b) = m · n · k = 105. Получим систему условий

$\{\begin{array}{l}m=5,\\ m·n·k=105\text{;}\end{array}$ $\{\begin{array}{l}m=5,\\ k·n=21.\end{array}$

Число 21 имеет делители: 1, 3, 7, 21. Его можно разложить на множители:$\text{1}·\text{21}$; $\text{3}·\text{7}$. Тогда получим системы

$\{\begin{array}{l}m=5,\\ k=1,\\ n=21\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}m=5,\\ k=3,\\ n=7\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}m=5,\\ k=7,\\ n=3\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}m=5,\\ k=21,\\ n=1.\end{array}$

Из каждой системы имеем:

$\{\begin{array}{l}a=105,\\ b=5\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}a=35,\\ b=15\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}a=15,\\ b=35\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}a=5,\\ b=105.\end{array}$

Таким образом, мы получили две пары чисел: (5; 105); (15; 35).

Ответ: (5; 105); (15; 35).

Пример 11. Найти два натуральных числа, сумма которых равна 85, а НОК равно 102.

Решение. По условию задачи, $a+b=85$; $\text{НОК}\left(a;b\right)=102$, где a и b — искомые числа. Разложим a и b на множители:$a=m·n$; $b=m·k$, где $m$, $n$, $k$ — натуральные числа. Значит,

$\text{НОК}\left(a;b\right)=m·n·k=102$; $a+b=m·n+m·k=m\left(n+k\right)=85$.

Получим систему

$\{\begin{array}{l}m\left(n+k\right)=85,\\ m·n·k=102.\end{array}$

Число 85 имеет делители: 1, 5, 17. Получим системы

$\{\begin{array}{l}m=1,\\ n+k=85,\\ n·k=102\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}m=5,\\ n+k=17,\\ \text{5}·n·k=102\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}m=17,\\ n+k=5,\\ n·k=6.\end{array}$

Первая и вторая системы не имеют решения, так как m, n, k — натуральные числа. А из последней системы следует, что $n=2$; $k=3$ или $n=3$; $k=2.$ Тогда $a=34$; $b=51$ или $a=51$; $b=34$.

Ответ: 34; 51.