Математика

Общий тест

Арифметические и алгебраические преобразования

Простые и составные числа. Признаки делимости натуральных чисел

Числа, употребляемые при счете предметов, называются натуральными. Множество натуральных чисел обозначается буквой

N

. Наименьшее натуральное число — единица. Наибольшего натурального числа нет. Для записи натуральных чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число, состоящее из a сотен, b десятков и c единиц, записывается в виде

\bar{a b c} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c

. Аналогично,

\bar{a b c d} = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + c \cdot 10 + d

, где a — цифра тысяч, b — цифра сотен, c — цифра десятков, d — цифра единиц.

Если натуральное число

n

делится на натуральное число

m

без остатка, т.е.

n = m k

, где

k \in N

, то число

m

называют делителем числа

n

, а число

n

— кратным числа

m

. Запись

n ⋮ m

означает, что

n

делится на

m

нацело.

Натуральное число, не равное единице, называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 17 — простые числа.
Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух делителей. Например: 6, 15, 24, 36 — составные числа.
Число 1 не является ни простым, ни составным.

Взаимно простые числа — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; например, 15 и 16.

Признаки делимости натуральных чисел

Для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа была четная или 0.
Для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3.
Для делимости на 4 нужно, чтобы две последние цифры числа были 00 или образовывали число, делящееся на 4.
Для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра числа была 0 или 5.
Для делимости на 8 нужно, чтобы три последние цифры числа были 000 или образовывали число, делящееся на 8.
Для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 9.
Для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра числа было 0.
Для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.
Для делимости на 25 нужно, чтобы две последние цифры числа были 00 или образовывали число (25, 50 или 75), делящееся на 25.

Пример 1. Найти наибольшее натуральное число, которое при делении на 15 с остатком дает частное, равное 19.

Решение. Пусть искомое число a. Так как a делится на 15 с остатком и частное при этом равно 19, то можно записать: a = 15 · 19 + r, где r — остаток. 15 · 19 = 285, а наибольший остаток равен 14, значит, a = 285 + 14 = 299.

Ответ: 299.

Пример 2. Найти все натуральные числа вида $\bar{2 x 5 y}$ (x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 12. В ответ записать их количество.

Решение. Число $\bar{2 x 5 y}$ делится на 12, значит, оно делится на 3 и 4. По признаку делимости на 4 число, записанное двумя последними цифрами ( $\bar{5 y}$ ), должно делиться на 4, следовательно, y может быть равен 2 и 6. По признаку делимости на 3 сумма цифр числа (2 + x + 5 + y) должна делиться на 3. Если y = 2, то 9 + x делится на 3 при x = 0, x = 3, x = 6, x = 9. Получим четыре числа: 2052, 2352, 2652, 2952. Если y = 6, то 13 + x делится на 3 при x = 2, x = 5, x = 8. Получим еще три числа: 2256, 2556, 2856. Итак, всего семь чисел.

Ответ: 7.