Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

12.2. Постулаты СТО

12.2.1. Релятивистский закон сложения скоростей

Релятивистская теория называется также специальной теорией относительности и базируется на двух постулатах, сформулированных А. Эйнштейном в 1905 г.

Первый постулат специальной теории относительности (СТО) называется принципом относительности: все законы физики инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные внутри данной ИСО, не дают возможности обнаружить, находится ли эта ИСО в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.

Первый постулат распространяет механический принцип относительности Галилея на любые физические процессы.

Второй постулат специальной теории относительности (СТО) называется принципом инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех ИСО.

Второй постулат утверждает, что постоянство скорости света — фундаментальное свойство природы.

Преобразования Лоренца (1904) позволяют получить значения трех пространственных и одной временной координаты при переходе от одной инерциальной системы отсчета (x, y, z, t) к другой (x′, y′, z′, t′), движущейся в положительном направлении координатной оси Ox с релятивистской скоростью $\vec{u}$ :

$x = \frac{x^{'} + u t^{'}}{\sqrt{1 - β^{2}}}$ , y = y′, z = z′, $t = \frac{t^{'} + u x^{'} / c^{2}}{\sqrt{1 - β^{2}}}$ ,

где β = u/c; c — скорость света в вакууме, c = 3,0 ⋅ 10⁸ м/с.

Практическую ценность для решения задач имеет закон сложения скоростей, записанный в виде

${v^{'}}_{x} = \frac{v_{x} - u_{x}}{1 - \frac{u_{x} v_{x}}{c^{2}}}$ ,

где величины ${v^{'}}_{x}$ , u _x, v _x — проекции скоростей на выбранную координатную ось Ox:

${v^{'}}_{x}$ — относительной скорости релятивистских частиц;
u _x — скорости частицы, выбранной за систему отсчета, относительно неподвижного наблюдателя;
v _x — скорости другой частицы относительно того же неподвижного наблюдателя.

Для расчета относительной скорости движения двух релятивистских частиц целесообразно применять следующий алгоритм:

1) выбрать направление координатной оси Ox вдоль движения одной из релятивистских частиц;

2) связать систему отсчета с одной из частиц, обозначить ее скорость $\vec{u}$ ; скорость второй частицы относительно неподвижного наблюдателя обозначить $\vec{v}$ ;

3) записать проекции скоростей $\vec{u}$ и $\vec{v}$ на выбранную координатную ось:

при движении частицы в положительном направлении оси Ox знак проекции скорости считать положительным;
при движении частицы в отрицательном направлении оси Ox знак проекции скорости считать отрицательным;

4) рассчитать проекцию относительной скорости частиц по формуле

${v^{'}}_{x} = \frac{v_{x} - u_{x}}{1 - \frac{u_{x} v_{x}}{c^{2}}}$ ;

5) модуль относительной скорости движения релятивистских частиц записать в виде

$v_{отн} = | {v^{'}}_{x} |$ .

Пример 1. Ракета, удаляющаяся от Земли со скоростью 0,6c (c — скорость света), посылает световой сигнал в сторону, противоположную скорости своего движения. Сигнал регистрируется наблюдателем на Земле. Найти скорость этого сигнала относительно земного наблюдателя.

Решение. Согласно второму постулату СТО скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя.

Поэтому скорость сигнала, посланного ракетой, относительно земного наблюдателя равна скорости света:

v _отн = c,

где c — скорость света в вакууме, c = 3,0 ⋅ 10⁸ м/с.

Пример 2. В момент вылета из ускорителя радиоактивное ядро выбросило электрон в направлении его движения. Модули скоростей ядра и электрона относительно ускорителя составляют 0,40c и 0,70c соответственно (c — скорость света в вакууме, c ≈ 3,00 ⋅ 10⁸ м/с). Определить модуль скорости ядра относительно электрона. Как изменится модуль скорости ядра относительно электрона, если ядро выбросит электрон в противоположную сторону?

Решение. В первом случае ядро выбрасывает электрон в направлении своего движения. На рис. а показано ядро, выбросившее электрон вдоль направления своего движения, и указаны направления координатной оси Ox, скорости ядра ${\vec{v}}_{яд}$ , скорости электрона ${\vec{v}}_{эл}$ .

Для расчета относительной скорости движения двух релятивистских частиц воспользуемся алгоритмом.

1. Выберем направление координатной оси Ox в направлении скорости электрона и ядра.

2. Свяжем систему отсчета с электроном, его скорость относительно ускорителя обозначим

$\vec{u} = {\vec{v}}_{эл}$ ;

скорость ядра относительно ускорителя —

$\vec{v} = {\vec{v}}_{яд}$ .

3. Запишем проекции скоростей $\vec{u}$ и $\vec{v}$ на выбранную координатную ось:

u _x = 0,40c; v _x = 0,70c.

4. Рассчитаем проекцию относительной скорости частиц по формуле

${v^{'}}_{x} = \frac{v_{x} - u_{x}}{1 - \frac{u_{x} v_{x}}{c^{2}}} = \frac{0,70 c - 0,40 c}{1 - \frac{0,40 c \cdot 0,70 c}{c^{2}}} = \frac{0,30 c}{1 - \frac{0,40 c \cdot 0,70 c}{c^{2}}} = 1,25 \cdot 10^{8}$ м/с.

5. Проекция относительной скорости имеет положительный знак, поэтому модуль скорости ядра относительно электрона равен найденной проекции:

$v_{отн} = {v^{'}}_{x} = 1,25 \cdot 10^{8}$ м/с.

Во втором случае ядро выбрасывает электрон в сторону, противоположную скорости своего движения. На рис. б показано ядро, выбросившее электрон противоположно направлению своего движения, и указаны направления координатной оси Ox, скорости ядра ${\vec{v}}_{яд}$ , скорости электрона ${\vec{v}}_{эл}$ .

Для расчета также воспользуемся алгоритмом.

1. Выберем направление координатной оси Ox в направлении скорости электрона.

2. Свяжем систему отсчета с электроном, его скорость относительно ускорителя обозначим

$\vec{u} = {\vec{v}}_{эл}$ ;

скорость ядра относительно ускорителя —

$\vec{v} = {\vec{v}}_{яд}$ .

3. Запишем проекции скоростей $\vec{u}$ и $\vec{v}$ на выбранную координатную ось:

u _x = 0,40с; v _x = −0,70c.

4. Рассчитаем проекцию относительной скорости частиц по формуле

${v^{'}}_{x} = \frac{v_{x} - u_{x}}{1 - \frac{u_{x} v_{x}}{c^{2}}} = \frac{- 0,70 c - 0,40 c}{1 - \frac{0,40 c \cdot (- 0,70) c}{c^{2}}} =$

$= \frac{- 1,1 \cdot 3,00 \cdot 10^{8}}{1 - \frac{0,40 c \cdot (- 0,70) c}{c^{2}}} = - 2,58 \cdot 10^{8}$ м/с.

5. Проекция относительной скорости имеет отрицательный знак, поэтому модуль скорости ядра относительно электрона равен модулю найденной проекции:

$v_{отн} = | {v^{'}}_{x} | = 2,58 \cdot 10^{8}$ м/с.

Модуль относительной скорости частиц увеличивается в 2,58 раза.

Физика