Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

11.2. Геометрическая оптика

11.2.3. Линзы

Основные характеристики линзы и общие принципы построения изображений

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя криволинейными (или криволинейной и плоской) поверхностями.

По форме ограничивающих поверхностей различают линзы:

вогнуто-выпуклые, плосковыпуклые, двояковыпуклые (рис. 11.18, а, б, в);
выпукло-вогнутые, плосковогнутые, двояковогнутые (рис. 11.19, а, б, в).

Рис. 11.18

Рис. 11.19

Пучок параллельных световых лучей, падая на линзы, изображенные на рис. 11.18, преобразуется в сходящийся; поэтому линзы такого типа называют собирающими; а падая на линзы, изображенные на рис. 11.19, преобразуется в расходящийся; линзы такого типа называют рассеивающими.

Линзы, толщина которых мала по сравнению с радиусами ограничивающих их поверхностей, называются тонкими.

Рис. 11.20

На рис. 11.20 показаны условные обозначения тонкой собирающей (а) и тонкой рассеивающей (б) линз.

Характеристики линзы показаны на рис. 11.21.

Рис. 11.21

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы.

Оптический центр линзы — точка, проходя через которую луч не преломляется.

Побочные оптические оси — прямые, проходящие через оптический центр линзы.

Фокусы линзы — точки, лежащие на главной оптической оси по обе стороны от линзы на одинаковом расстоянии от ее оптического центра, обладающие следующим свойством:

в случае собирающей линзы — это точка, в которой собираются лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси (рис. 11.22);
в случае рассеивающей линзы — это точка, в которой собираются продолжения лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси (рис. 11.23).

Рис. 11.22

Рис. 11.23

Передний фокус линзы расположен со стороны падающего пучка света (на рис. 11.21 обозначен F ₁), задний фокус расположен с противоположной стороны линзы (на рис. 11.21 обозначен F ₂).

Фокальная плоскость — плоскость, проходящая через фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси.

Основными характеристиками линзы считаются фокусное расстояние и оптическая сила.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до ее фокуса. Фокусное расстояние F собирающих и рассеивающих линз отличается знаком:

собирающей линзы (см. рис. 11.22) является положительной величиной:

F > 0;

рассеивающей линзы (см. рис. 11.23) условно принято считать отрицательной величиной:

F < 0.

В Международной системе единиц фокусное расстояние измеряется в метрах (1 м).

Оптическая сила собирающих и рассеивающих линз также отличается знаком; оптическая сила D:

собирающей линзы является положительной величиной и определяется формулой

$D = \frac{1}{F} > 0$ ;

рассеивающей линзы является отрицательной величиной и определяется формулой

$D = - \frac{1}{| F |} < 0$ .

В Международной системе единиц оптическая сила линзы измеряется в диоптриях (1 дптр), или в обратных метрах (1 м⁻¹).

При построении изображений, формируемых линзами, принято пользоваться следующими принципами:

1) луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется (рис. 11.24);

2) луч, параллельный главной оптической оси (рис. 11.25), преломляясь:

в собирающей линзе, проходит через ее фокус;
в рассеивающей линзе, идет таким образом, что его продолжение также проходит через фокус линзы;

Рис. 11.24

Рис. 11.25

3) лучи, падающие на линзу параллельным пучком под углом к главной оптической оси (ГОО), собираются в точке пересечения фокальной плоскости линзы (ФП) с побочной оптической осью (ПОО), параллельной данному пучку света (рис. 11.26).

Рис. 11.26

Пример 11. Узкий параллельный пучок лучей падает на тонкую собирающую линзу по углом 30° к главной оптической оси. Найти фокусное расстояние линзы, если лучи фокусируются на расстоянии 30 см от главной оптической оси.

Решение. На рисунке изображены:

узкий параллельный пучок световых лучей, падающих на тонкую собирающую линзу под углом 30° к главной оптической оси;
побочная оптическая ось, параллельная данному пучку;
фокальная плоскость (пунктир).

Побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость в точке A. Следовательно, лучи, параллельные этой оси, после преломления в линзе собираются в указанной точке.

Из треугольника OFA найдем искомое расстояние OF (фокусное расстояние линзы):

$| O F | = \frac{| A F |}{tg 30 °} \approx \frac{30 \cdot 10^{- 2}}{1 / \sqrt{3}} = 52 \cdot 10^{- 2} м = 52 см$ .

Фокусное расстояние данной линзы равно 52 см.

Пример 12. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после преломления в тонкой рассеивающей линзе расходится таким образом, что продолжения лучей сходятся в некоторой точке. Точка, в которой сходятся продолжения лучей, расположена на главной оптической оси на расстоянии 160 мм от оптического центра линзы. Определить оптическую силу линзы.

Решение. Изобразим на рисунке:

главную оптическую ось тонкой рассеивающей линзы;
крайние лучи светового пучка, падающего на линзу;
ход этих лучей после преломления в линзе;
продолжения преломленных лучей (пунктир).

Пучок световых лучей, параллельных главной оптической оси, после преломления в рассеивающей линзе расходится. Точка F, в которой сходятся продолжения этих лучей, является фокусом тонкой рассеивающей линзы.

Искомая оптическая сила для рассеивающей линзы является отрицательной величиной и определяется формулой

$D = - \frac{1}{| F |}$ ,

где |F| — модуль фокусного расстояния линзы, |F| = |OF| = 160 мм.

Вычислим:

$D = - \frac{1}{160 \cdot 10^{- 3}} = - 6,25$ дптр.

Следовательно, оптическая сила данной рассеивающей линзы составляет −6,25 дптр.

Формула тонкой собирающей линзы

Собирающая линза:

формирует действительное перевернутое изображение предмета (рис. 11.27), если предмет поместить от линзы на расстоянии d, большем фокусного расстояния F: d > F; изображение является действительным, так как пересекаются сами лучи;
формирует мнимое прямое изображение предмета (рис. 11.28), если предмет поместить от линзы на расстоянии d, меньшем фокусного расстояния F: d < F; изображение является мнимым, так как пересекаются не сами лучи, а их продолжения;

Рис. 11.27

Рис. 11.28

не формирует изображения предмета (рис. 11.29), если предмет поместить от линзы на расстоянии d, равном фокусному расстоянию F: d = F; изображение не формируется, так как лучи после преломления в линзе не пересекаются (идут параллельно).

Рис. 11.29

Формула тонкой собирающей линзы связывает фокусное расстояние линзы F (или ее оптическую силу D) и расстояния, на которых расположены предмет d и его изображение f от оптического центра линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} \pm \frac{1}{f}$ ,

где F — фокусное расстояние линзы; d — расстояние от предмета до линзы; f — расстояние от линзы до изображения.

Знак «+» ставится в том случае, когда линзой формируется действительное изображение, а «−» — когда линзой формируется мнимое изображение:

если предмет поместить от линзы на расстоянии d, большем фокусного расстояния F (d > F), то линзой формируется действительное перевернутое изображение (см. рис. 11.27); формула тонкой собирающей линзы в этом случае принимает вид

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ ;

если предмет поместить от линзы на расстоянии d, меньшем фокусного расстояния F (d < F), то линзой формируется мнимое прямое изображение (см. рис. 11.28); формула тонкой собирающей линзы в этом случае принимает вид

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f}$ .

Линейное увеличение собирающей линзы определяется выражением

$Г = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$ ,

где H — линейный размер изображения; h — линейный размер предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси линзы; f — расстояние от линзы до изображения; d — расстояние от предмета до линзы.

Собирающая линза формирует:

действительное перевернутое увеличенное изображение предмета (рис. 11.30), если предмет поместить от линзы на расстоянии d, большем фокусного расстояния F, но меньшем 2F (F < d < 2F):

Г > 1;

Рис. 11.30

действительное перевернутое уменьшенное изображение предмета (рис. 11.31), если предмет поместить от линзы на расстоянии d, большем расстояния 2F (d > 2F):

Г < 1;

Рис. 11.31

действительное перевернутое равное изображение предмета (рис. 11.32), если предмет поместить от линзы на расстоянии d, равном расстоянию 2F (d = 2F):

Г = 1;

Рис. 11.32

мнимое прямое увеличенное изображение предмета (рис. 11.33), если предмет поместить от линзы на расстоянии d, меньшем фокусного расстояния F (d < F):

Г > 1.

Рис. 11.33

Особенности изображений, формируемых собирающей линзой. В большинстве случаев собирающая линза формирует действительное изображение предмета:

изображение и предмет расположены от линзы по разные стороны;
изображение может быть как увеличенным, так и уменьшенным;
действительное изображение всегда является перевернутым.

Мнимое изображение формируется собирающей линзой только тогда, когда предмет помещают между фокусом и линзой. При этом:

изображение и предмет расположены от линзы по одну сторону;
изображение является прямым;
мнимое изображение, полученное с помощью собирающей линзы, всегда получается увеличенным.

Пример 13. Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии 350 мм от ее оптического центра. Фокусное расстояние линзы составляет 400 мм. Найти расстояние от предмета до его изображения.

Решение. На рисунке показаны:

предмет высотой h, расположенный на расстоянии d от оптического центра линзы;
изображение высотой H, расположенное на расстоянии f от оптического центра линзы.

Предмет находится между фокусом линзы и ее оптическим центром, т.е.

d < F,

поэтому линза формирует мнимое изображение предмета, расположенное с той же стороны от линзы, что и предмет.

Для определения расстояния f между линзой и изображением воспользуемся формулой тонкой собирающей линзы, записанной в следующем виде:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f}$ ,

где F — фокусное расстояние линзы, F = 400 мм.

Отсюда следует, что расстояние между изображением и линзой определяется отношением

$f = \frac{d F}{F - d}$

и составляет

$f = \frac{350 \cdot 10^{- 3} \cdot 400 \cdot 10^{- 3}}{(400 - 350) \cdot 10^{- 3}} = 2,80$ м.

Предмет и его изображение расположены по одну сторону от линзы, поэтому искомое расстояние между предметом и его изображением является разностью:

∆x = f − d = 2,80 − 350 ⋅ 10⁻³ = 245 ⋅ 10⁻² м = 245 см.

Пример 14. Предмет, высота которого равна 20 см, расположен перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии 45 см от ее оптического центра. Фокусное расстояние линзы составляет 30 см. Предмет переместили по направлению к линзе на 20 см. Определить величину нового изображения предмета.

Решение. При разных положениях предмета по отношению к линзе формируются разные изображения:

при первом положении предмета (d ₁ = 45 см, d ₁ > F) формируется действительное изображение (рис. а);
при втором положении предмета (d ₂ = 25 см, d ₂ < F) формируется мнимое изображение (рис. б).

Линейное увеличение линзы также зависит от положения предмета и определяется следующими формулами:

в первом случае —

$Г_{1} = \frac{H_{1}}{h} = \frac{f_{1}}{d_{1}}$ ,

где h — размер предмета h = 20 см; Н ₁ — размер первого изображения; f ₁ — расстояние от первого изображения до линзы;

во втором случае —

$Г_{2} = \frac{H_{2}}{h} = \frac{f_{2}}{d_{2}}$ ,

где Н ₂ — размер второго изображения; f ₂ — расстояние от второго изображения до линзы.

Изображения получаются на разном расстоянии от линзы; соответствующие величины f ₁ и f ₂ определяются формулой тонкой собирающей линзы, записанной:

в первом случае для действительного изображения —

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{f_{1}}$ ;

во втором случае для мнимого изображения —

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_{2}} - \frac{1}{f_{2}}$ .

Для определения размера второго изображения (искомая величина) составим полную систему уравнений

$\begin{array}{l} \frac{H_{2}}{h} = \frac{f_{2}}{d_{2}}, \\ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_{2}} - \frac{1}{f_{2}} . \end{array}}$

Из первого уравнения системы следует

$H_{2} = \frac{h f_{2}}{d_{2}}$ ,

где величина f ₂ определяется вторым уравнением системы

$f_{2} = \frac{d_{2} F}{F - d_{2}}$ ,

где F — фокусное расстояние линзы, F = 30 см.

Подстановка дает

$H_{2} = \frac{h F}{F - d_{2}}$ .

Вычислим:

$H_{2} = \frac{20 \cdot 10^{- 2} \cdot 30 \cdot 10^{- 2}}{(30 - 25) \cdot 10^{- 2}} = 1,2$ м.

После перемещения предмета на указанное расстояние формируется мнимое изображение высотой 1,2 м.

Пример 15. Предмет длиной 10 см расположен на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием 40 см. Во сколько раз величина изображения больше величины предмета, если ближайшая к линзе точка предмета расположена на расстоянии 50 см от линзы?

Решение. На рисунке изображены:

предмет AB и побочная оптическая ось;
лучи, параллельные побочной оптической оси, проходящие через точки A и B;
лучи, преломленные в линзе, проходящие через точку пересечения побочной оптической оси (ПОО) и фокальной плоскости (ФП);
изображение предмета A′B′, полученное пересечением лучей, преломленных линзой, с главной оптической осью.

Расстояния от точки А до плоскости линзы и от точки В до плоскости линзы обозначим d ₁ и d ₂ соответственно; расстояния от изображений A′ и B′ до плоскости линзы — f ₁ и f ₂ соответственно.

Оба изображения A′ и B′ являются действительными. Следовательно, формула собирающей тонкой линзы может быть записана в следующем виде:

для точек А и A′ —

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{f_{1}}$ ,

где d ₁ = 10 + 50 = 60 см; F — фокусное расстояние линзы, F = 40 см;

для точек B и B′ —

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{f_{2}}$ ,

где d ₂ = 50 см.

Искомой величиной является линейное увеличение

$Г = \frac{L}{l}$ ,

где l — длина предмета, l = 10 см; L — длина изображения, L = |f ₂ − f ₁|.

В явном виде коэффициент линейного увеличения определяется выражением

$Г = \frac{| f_{2} - f_{1} |}{l} .$

Величину f ₁ найдем из формулы собирающей тонкой линзы для точек А и A′:

$f_{1} = \frac{d_{1} F}{d_{1} - F} = \frac{60 \cdot 10^{- 2} \cdot 40 \cdot 10^{- 2}}{(60 - 40) \cdot 10^{- 2}} = 1,2$ м,

а величину f ₂ — из формулы собирающей тонкой линзы для точек В и B′:

$f_{2} = \frac{d_{2} F}{d_{2} - F} = \frac{50 \cdot 10^{- 2} \cdot 40 \cdot 10^{- 2}}{(50 - 40) \cdot 10^{- 2}} = 2,0$ м.

Полученные значения подставим в формулу для Г и вычислим величину линейного увеличения:

$Г = \frac{| f_{2} - f_{1} |}{l} = \frac{| 2,0 - 1,2 |}{10 \cdot 10^{- 2}} = 8,0$ .

Длина изображения в 8 раз больше длины предмета.

Формула тонкой рассеивающей линзы

Рассеивающая линза формирует мнимое прямое изображение предмета:

если предмет поместить от линзы на расстоянии d, большем фокусного расстояния F (рис. 11.34), d > F;
если предмет поместить от линзы на расстоянии d, меньшем фокусного расстояния F (рис. 11.35), d < F;
если предмет поместить от линзы на расстоянии d, равном фокусному расстоянию F (рис. 11.36), d = F.

Изображение, сформированное рассеивающей линзой, во всех случаях является мнимым, так как оно формируется пересечением действительного луча и продолжения луча (пунктир).

Формула тонкой рассеивающей линзы связывает фокусное расстояние линзы F (или ее оптическую силу D) и расстояния, на которых расположены предмет d и его изображение f от оптического центра линзы:

$- \frac{1}{| F |} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f}$ ,

где F — фокусное расстояние линзы; d — расстояние от предмета до линзы; f — расстояние от линзы до изображения.

Рис. 11.34

Рис. 11.35

Рис. 11.36

В формуле тонкой рассеивающей линзы перед слагаемым (1/f) всегда стоит знак «−», так как рассеивающая линза формирует только мнимое изображение предмета.

Линейное увеличение рассеивающей линзы определяется выражением

$Г = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$ ,

где h — линейный размер предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси линзы; H — линейный размер изображения; d — расстояние от предмета до линзы; f — расстояние от линзы до изображения.

Рассеивающая линза формирует мнимое прямое уменьшенное изображение предмета:

если предмет поместить от линзы на расстоянии d, большем фокусного расстояния F, но меньшем 2F (F < d < 2F) (см. рис. 11.34), Г < 1;
если предмет поместить от линзы на расстоянии d, большем расстояния 2F (d > 2F) (см. рис. 11.35), Г < 1;
размер которого в 2 раза меньше размера предмета, если предмет поместить от линзы на расстоянии d, равном расстоянию F (d = F) (см. рис. 11.36), Г = 0,5.

Линейное увеличение рассеивающей линзы всегда меньше единицы:

Г < 1.

При приближении к линзе размер изображения увеличивается, однако он всегда остается меньше размера предмета.

Особенности изображений формируемых рассеивающей линзой. Рассеивающая линза формирует только мнимое изображение предмета:

изображение и предмет расположены от линзы по одну сторону;
изображение является прямым;
мнимое изображение, полученное с помощью рассеивающей линзы, всегда получается уменьшенным.

Пример 16. Тонкая рассеивающая линза с фокусным расстоянием −50 см формирует изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Когда расстояние между предметом и оптическим центром линзы равно 40 см, размер изображения составляет 40 см. Предмет переместили по направлению к линзе на 30 см. Найти величину нового изображения предмета.

Решение. При разных положениях предмета по отношению к линзе формируются два мнимых изображения.

Линейное увеличение линзы зависит от положения предмета и определяется следующими формулами:

в первом случае (рис. а) —

$Г_{1} = \frac{H_{1}}{h} = \frac{f_{1}}{d_{1}}$ ,

где h — размер предмета; H ₁— размер первого изображения; d ₁ — расстояние от предмета до линзы, d ₁ = 40 см; f ₁ — расстояние от первого изображения до линзы;

во втором случае (рис. б) —

$Г_{2} = \frac{H_{2}}{h} = \frac{f_{2}}{d_{2}}$ ,

где d ₂ — новое расстояние от предмета до линзы, d ₂ = 40 − 30 = 10 см; H ₂ — размер второго изображения; f ₂ — расстояние от второго изображения до линзы.

Изображения получаются на разном расстоянии от линзы; соответствующие величины f ₁ и f ₂ определяются формулой тонкой рассеивающей линзы, записанной в следующем виде:

для первого случая —

$- \frac{1}{| F |} = \frac{1}{d_{1}} - \frac{1}{f_{1}}$ ;

для второго случая —

$- \frac{1}{| F |} = \frac{1}{d_{2}} - \frac{1}{f_{2}}$ ,

где |F| — модуль фокусного расстояния линзы, |F| = 50 см.

Записанные уравнения образуют полную систему уравнений.

Деление первого и второго уравнений

$\frac{H_{1}}{H_{2}} = \frac{d_{2} f_{1}}{d_{1} f_{2}}$

позволяет получить формулу для величины второго изображения:

$H_{2} = \frac{H_{1} d_{1} f_{2}}{d_{2} f_{1}}$ ,

где величина f ₁ определяется третьим уравнением системы:

$f_{1} = \frac{d_{1} | F |}{| F | + d_{1}}$ ,

а величина f ₂ — четвертым уравнением системы:

$f_{2} = \frac{d_{2} | F |}{| F | + d_{2}}$ .

Подстановка f ₁ и f ₂ в формулу для H ₂ дает:

$H_{2} = \frac{H_{1} (| F | + d_{1})}{(| F | + d_{2})}$ ,

где H ₁ — размер первого изображения, H ₁ = 40 см.

Рассчитаем:

$H_{2} = \frac{40 \cdot 10^{- 2} (50 + 40) \cdot 10^{- 2}}{(50 + 10) \cdot 10^{- 2}} = 60 \cdot 10^{- 2} м = 60 см$ .

После перемещения предмета на указанное расстояние формируется мнимое изображение высотой 60 см.

Физика