Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

10.6. Вынужденные колебания

10.6.1. Резонанс в механических колебательных системах

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора. При механических колебаниях роль такого фактора играет внешняя сила, действующая по гармоническому закону

F = F ₀ cos ωt,

где F ₀ — максимальное значение (амплитуда) вынуждающей силы; ω — циклическая частота вынуждающей силы; t — время.

При совпадении циклической частоты ω (частоты ν, периода T) внешнего гармонического воздействия с циклической частотой ω₀ (частотой ν₀, периодом T ₀) собственных колебаний механической системы наступает резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний — резонанс.

Для возникновения резонанса необходимо соблюдение одного из условий:

ω = ω₀, ν = ν₀, T = T ₀,

где ω — циклическая частота вынуждающей силы; ω₀ — циклическая частота собственных колебаний; ν — частота вынуждающей силы; ν₀ — частота собственных колебаний; T — период вынуждающей силы; T ₀ — период собственных колебаний механической колебательной системы.

Пример 17. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии 60 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску массой 10 кг, имеющую две одинаковые рессоры. Известно, что груз массой 1,0 кг вызывает деформацию рессоры, равную 2,0 см. Найти скорость коляски, при которой она начнет сильно раскачиваться от толчков на углублениях дороги.

Решение. Коляска, движущаяся с определенной скоростью, проходит путь, равный расстоянию между углублениями на дороге, за время

$t = \frac{L}{v}$ ,

где L — расстояние между углублениями на дороге, L = 60 см; v — модуль скорости коляски (искомая величина).

Периодичность воздействия на коляску углублений, оставленных гусеницами трактора на дороге, позволяет считать это время периодом вынужденных колебаний:

T = t.

Коляска имеет период собственных колебаний, вызванных наличием рессор (пружин):

$T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{M}{k_{общ}}}$ ,

где M — масса коляски, M = 10 кг; k _oбщ — общий коэффициент жесткости рессор коляски (параллельное соединение), k _oбщ = 2k; k — жесткость одной рессоры.

Резонанс наступает при равенстве периодов внешнего воздействия и собственных колебаний коляски:

T = T ₀.

Равенство

$\frac{L}{v} = 2 π \sqrt{\frac{M}{k_{общ}}} = 2 π \sqrt{\frac{M}{2 k}}$

позволяет найти искомую величину скорости коляски:

$v = \frac{L}{2 π} \sqrt{\frac{2 k}{M}} = \frac{L}{π} \sqrt{\frac{k}{2 M}}$ .

Определим жесткость одной рессоры с помощью равенства

mg = k∆x,

где m — масса груза, m = 1,0 кг; g — модуль ускорения свободного падения, g = 10 м/с²; Δx — деформация рессоры под действием указанного груза, Δx = 2,0 см.

Выразим из данного равенства жесткость одной рессоры:

$k = \frac{m g}{Δ x}$

и подставим ее в выражение для скорости коляски:

$v = \frac{L}{π} \sqrt{\frac{m g}{2 M Δ x}}$ .

Вычислим:

$v = \frac{60 \cdot 10^{- 2}}{3,14} \sqrt{\frac{1,0 \cdot 10}{2 \cdot 10 \cdot 2,0 \cdot 10^{- 2}}} = 96 \cdot 10^{- 2} м/с = 96 см/с$ .

При скорости коляски, равной 96 см/с, наступает явление резонанса — коляска начинает сильно раскачиваться.

Физика