Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

10.2. Основные характеристики колебаний

10.2.1. Основные характеристики механических колебаний

Механические гармонические колебания возникают в колебательных системах, называемых маятниками (осцилляторами); различают следующие виды маятников:

математический (рис. 10.1);
вертикальный пружинный (рис. 10.2, а);
горизонтальный пружинный (рис. 10.2, б).

Рис. 10.1

Рис. 10.2

Период гармонических колебаний любого маятника определяется формулой

$T = \frac{t}{n}$ ,

где n — число колебаний; t — время, за которое они совершаются.

В Международной системе единиц период механических колебаний измеряется в секундах (1 с).

Период малых гармонических колебаний рассчитывается по следующим формулам:

для математического маятника —

$T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ ,

где l — длина нити; g — модуль ускорения свободного падения в месте расположения маятника; период колебаний математического маятника не зависит от массы груза;

для пружинного маятника —

$T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$ ,

где m — масса груза; k — коэффициент жесткости (упругости) пружины.

Частота гармонических колебаний любого маятника определяется формулой

$ν = \frac{1}{T}$ ,

где T — период колебаний.

В Международной системе единиц частота механических колебаний измеряется в герцах, или в обратных секундах (1 Гц = 1 с⁻¹).

Частота малых гармонических колебаний рассчитывается по следующим формулам:

для математического маятника —

$ν = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{g}{l}}$ ,

где l — длина нити; g — модуль ускорения свободного падения в месте расположения маятника;

для пружинного маятника —

$ν = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}$ ,

где m — масса груза; k — коэффициент жесткости (упругости) пружины.

Циклическая частота гармонических колебаний любого маятника определяется формулами

ω = 2πν,

где ν — частота колебаний,

$ω = \frac{2 π}{T}$ ,

где T — период колебаний.

В Международной системе единиц циклическая частота механических колебаний измеряется в радианах в секунду (1 рад/с).

Циклическая частота малых гармонических колебаний рассчитывается по следующим формулам:

для математического маятника —

$ω = \sqrt{\frac{g}{l}}$ ,

где l — длина нити; g — модуль ускорения свободного падения в месте расположения маятника;

для пружинного маятника —

$ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ,

где m — масса груза; k — коэффициент жесткости (упругости) пружины.

Пример 1. Два математических маятника имеют нити разной длины и расположены в одном месте земной поверхности. Период колебаний первого математического маятника равен 5 с, а второго — 4 с. Третий маятник расположен в том же месте земной поверхности и имеет длину нити, равную разности длин нитей первых двух маятников. Определить период колебаний третьего маятника.

Решение. Периоды колебаний математических маятников описываются следующими формулами:

маятника с длиной нити l ₁ —

$T_{1} = 2 π \sqrt{\frac{l_{1}}{g}}$ ,

где g — модуль ускорения свободного падения в месте расположения маятника;

маятника с длиной нити l ₂ —

$T_{2} = 2 π \sqrt{\frac{l_{2}}{g}}$ ;

маятника с длиной нити l ₃ = l ₁ − l ₂ —

$T_{3} = 2 π \sqrt{\frac{l_{3}}{g}} = 2 π \sqrt{\frac{l_{1} - l_{2}}{g}}$ .

Из первого и второго уравнений выразим длины нитей l ₁ и l ₂:

$l_{1} = \frac{Т_{1}^{2} g}{4 π^{2}}$ , $l_{2} = \frac{Т_{2}^{2} g}{4 π^{2}}$

и подставим в формулу для периода третьего маятника:

$T_{3} = \sqrt{Т_{1}^{2} - Т_{2}^{2}}$ ,

где T ₁ — период колебаний первого маятника, T ₁ = 5 c; T ₂ — период колебаний второго маятника, T ₂ = 4 c.

Вычислим:

$T_{3} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$ с.

Период колебаний математического маятника, длина нити которого равна разности длин нитей заданных маятников, составляет 3 с.

Физика