Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

8.5. Тепловое действие тока

8.5.1. Мощность источника тока

Полная мощность источника тока:

P _полн = P _полезн + P _потерь,

где P _полезн — полезная мощность, P _полезн = I ²R; P _потерь — мощность потерь, P _потерь = I ²r; I — сила тока в цепи; R — сопротивление нагрузки (внешней цепи); r — внутреннее сопротивление источника тока.

Полная мощность может быть рассчитана по одной из трех формул:

P _полн = I ²(R + r), $P_{полн} = \frac{ℰ^{2}}{R + r}$ , P _полн = Iℰ,

где ℰ — электродвижущая сила (ЭДС) источника тока.

Полезная мощность — это мощность, которая выделяется во внешней цепи, т.е. на нагрузке (резисторе), и может быть использована для каких-то целей.

Полезная мощность может быть рассчитана по одной из трех формул:

P _полезн = I ²R, $P_{полезн} = \frac{U^{2}}{R}$ , P _полезн = IU,

где I — сила тока в цепи; U — напряжение на клеммах (зажимах) источника тока; R — сопротивление нагрузки (внешней цепи).

Мощность потерь — это мощность, которая выделяется в источнике тока, т.е. во внутренней цепи, и расходуется на процессы, имеющие место в самом источнике; для каких-то других целей мощность потерь не может быть использована.

Мощность потерь, как правило, рассчитывается по формуле

P _потерь = I ²r,

где I — сила тока в цепи; r — внутреннее сопротивление источника тока.

При коротком замыкании полезная мощность обращается в нуль

P _полезн = 0,

так как сопротивление нагрузки в случае короткого замыкания отсутствует: R = 0.

Полная мощность при коротком замыкании источника совпадает с мощностью потерь и вычисляется по формуле

$P_{полн} = \frac{ℰ^{2}}{r}$ ,

где ℰ — электродвижущая сила (ЭДС) источника тока; r — внутреннее сопротивление источника тока.

Полезная мощность имеет максимальное значение в случае, когда сопротивление нагрузки R равно внутреннему сопротивлению r источника тока:

R = r.

Максимальное значение полезной мощности:

$P_{полезн}^{max} = 0,5 P_{полн}$ ,

где P _полн — полная мощность источника тока; $P_{полн} = ℰ^{2} / 2 r$ .

В явном виде формула для расчета максимальной полезной мощности выглядит следующим образом:

$P_{полезн}^{\max} = \frac{ℰ^{2}}{4 r}$ .

Для упрощения расчетов полезно помнить два момента:

если при двух сопротивлениях нагрузки R ₁ и R ₂ в цепи выделяется одинаковая полезная мощность, то внутреннее сопротивление источника тока r связано с указанными сопротивлениями формулой

$r = \sqrt{R_{1} R_{2}}$ ;

если в цепи выделяется максимальная полезная мощность, то сила тока I ^* в цепи в два раза меньше силы тока короткого замыкания i:

$I^{*} = \frac{i}{2}$ .

Пример 15. При замыкании на сопротивление 5,0 Ом батарея элементов дает ток силой 2,0 А. Ток короткого замыкания батареи равен 12 А. Рассчитать наибольшую полезную мощность батареи.

Решение. Проанализируем условие задачи.

1. При подключении батареи к сопротивлению R ₁ = 5,0 Ом в цепи течет ток силой I ₁ = 2,0 А, как показано на рис. а, определяемый законом Ома для полной цепи:

$I_{1} = \frac{ℰ}{R_{1} + r}$ ,

где ℰ — ЭДС источника тока; r — внутреннее сопротивление источника тока.

2. При замыкании батареи накоротко в цепи течет ток короткого замыкания, как показано на рис. б. Сила тока короткого замыкания определяется формулой

$i = \frac{ℰ}{r}$ ,

где i — сила тока короткого замыкания, i = 12 А.

3. При подключении батареи к сопротивлению R ₂ = r в цепи течет ток силой I ₂, как показано на рис. в, определяемый законом Ома для полной цепи:

$I_{2} = \frac{ℰ}{R_{2} + r} = \frac{ℰ}{2 r}$ ;

в этом случае в цепи выделяется максимальная полезная мощность:

$P_{полезн}^{\max} = I_{2}^{2} R_{2} = I_{2}^{2} r$ .

Таким образом, для расчета максимальной полезной мощности необходимо определить внутреннее сопротивление источника тока r и силу тока I ₂.

Для того чтобы найти силу тока I ₂, запишем систему уравнений:

$\begin{array}{l} i = \frac{ℰ}{r}, \\ I_{2} = \frac{ℰ}{2 r} \end{array}}$

и выполним деление уравнений:

$\frac{i}{I_{2}} = 2$ .

Отсюда следует:

$I_{2} = \frac{i}{2} = \frac{12}{2} = 6,0$ А.

Для того чтобы найти внутреннее сопротивление источника r, запишем систему уравнений:

$\begin{array}{l} I_{1} = \frac{ℰ}{R_{1} + r}, \\ i = \frac{ℰ}{r} \end{array}}$

и выполним деление уравнений:

$\frac{I_{1}}{i} = \frac{r}{R_{1} + r}$ .

Отсюда следует:

$r = \frac{I_{1} R_{1}}{i - I_{1}} = \frac{2,0 \cdot 5,0}{12 - 2,0} = 1,0$ Ом.

Рассчитаем максимальную полезную мощность:

$P_{полезн}^{\max} = I_{2}^{2} r = {6,0}^{2} \cdot 1,0 = 36$ Вт.

Таким образом, максимальная полезная мощность батареи составляет 36 Вт.

Физика