Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

8.2. Сила тока и сопротивление проводника

8.2.2. Сопротивление проводника

Сопротивление проводника определяется материалом, из которого изготовлен проводник, и его геометрическими размерами.

Сопротивление проводника зависит от удельного сопротивления материала, из которого изготовлен проводник, и геометрических размеров проводника (его длины и площади поперечного сечения). Для однородного линейного проводника справедлива формула

$R = ρ \frac{l}{S}$ ,

где ρ — удельное сопротивление материала проводника (справочная величина); l — длина проводника; S — площадь поперечного сечения проводника.

В Международной системе единиц сопротивление измеряется в омах (1 Ом).

Сопротивление проводника возрастает с увеличением его температуры по следующему закону:

R = R ₀(1 + αt),

где R — сопротивление проводника при некоторой температуре t (в градусах Цельсия); R ₀ — сопротивление проводника при температуре t ₀ = 0 °C; α — температурный коэффициент сопротивления (справочная величина).

Температурный коэффициент сопротивления может измеряться в следующих единицах:

в обратных кельвинах — кельвинах в минус первой степени (1 К⁻¹);
в обратных градусах Цельсия — градусах в минус первой степени (1 град⁻¹).

Указанные величины полностью идентичны:

1 К⁻¹ = 1 град⁻¹,

т.е. при решении задач перевод из обратных градусов в обратные кельвины (и наоборот) производить не следует.

Пример 3. Сопротивление резистора, изготовленного из некоторого сплава, при 283 К равно 150 Ом. Сплав обладает температурным коэффициентом сопротивления, равным 0,010 К⁻¹. Во время работы резистор нагревается до 293 К. Найти, на какую величину возрастет сопротивление этого резистора при нагревании.

Решение. При нагревании сопротивление проводника (резистора) увеличивается по закону

R = R ₀(1 + αt),

где R ₀ — сопротивление проводника при температуре t ₀ = 0 °C; t — температура в градусах Цельсия; α — температурный коэффициент сопротивления.

Запишем формулу дважды для указанных температур:

для температуры t ₁ = 283 − 273 = 10 °C —

R ₁ = R ₀(1 + αt ₁);

для температуры t ₂ = 293 − 273 = 20 °C —

R ₂ = R ₀(1 + αt ₂).

Отношение сопротивлений резистора при данных температурах

$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} (1 + α t_{1})}{R_{0} (1 + α t_{2})} = \frac{1 + α t_{1}}{1 + α t_{2}}$

позволяет выразить сопротивление резистора R ₂ при температуре t ₂ = 20 °C:

$R_{2} = R_{1} \frac{1 + α t_{2}}{1 + α t_{1}}$ .

Искомая разность сопротивлений резистора определяется выражением

$Δ R = R_{2} - R_{1} = R_{1} (\frac{1 + α t_{2}}{1 + α t_{1}} - 1) = \frac{R_{1} α (t_{2} - t_{1})}{1 + α t_{1}}$ .

Произведем вычисление:

$Δ R = \frac{150 \cdot 0,010 (20 - 10)}{1 + 0,010 \cdot 10} = 14$ Ом.

Пример 4. Моток медной проволоки имеет массу 0,89 кг и сопротивление 6,8 Ом. Плотность меди составляет 8,9 г/см³, а ее удельное сопротивление 1,7 ⋅ 10⁻⁸ Ом ⋅ м. Определить площадь поперечного сечения проволоки.

Решение. Сопротивление медного проводника определяется формулой

$R = ρ \frac{l}{S}$ ,

где ρ — удельное сопротивление меди; l — длина проволоки; S — площадь поперечного сечения проволоки.

Однако записанная формула не позволяет рассчитать площадь поперечного сечения, так как длина проволоки не задана в условии задачи.

Масса медной проволоки задается произведением

m = ρ′V,

где ρ′ — плотность меди; V — объем проволоки, V = lS.

Уравнения для сопротивления и для массы образуют систему уравнений

$\begin{array}{l} R = ρ \frac{l}{S}, \\ m = ρ^{'} l S, \end{array}}$

которую требуется решить относительно S. Для этого разделим уравнения:

$\frac{R}{m} = \frac{ρ}{ρ^{'} S^{2}}$

и выразим площадь поперечного сечения проволоки:

$S = \sqrt{\frac{m ρ}{R ρ^{'}}}$ .

Расчет дает значение:

$S = \sqrt{\frac{0,89 \cdot 1,7 \cdot 10^{- 8}}{6,8 \cdot 8,9 \cdot 10^{3}}} = 0,50 \cdot 10^{- 6} м^{2} = 0,50 {мм}^{2}$ .

Физика