Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

8.2. Сила тока и сопротивление проводника

8.2.1. Заряд, переносимый через поперечное сечение проводника, сила и плотность тока

Электрический ток является:

постоянным, если его сила не изменяется с течением времени;
непостоянным, если его сила изменяется с течением времени.

Средняя сила непостоянного тока определяется формулой

$〈 I 〉 = \frac{Q}{Δ t}$ ,

где Q — заряд, перенесенный носителями тока через поперечное сечение проводника, расположенное перпендикулярно скорости носителей тока, за промежуток времени Δt.

При равномерном изменении силы тока среднюю силу тока рассчитывают по формуле

$〈 I 〉 = \frac{I_{1} + I_{2}}{2}$ ,

где I ₁ — значение силы тока в начальный момент времени; I ₂ — значение силы тока в конечный момент времени.

Сила постоянного тока в любой момент времени имеет одинаковую величину:

$I = \frac{Q}{Δ t}$ ,

где Q — заряд, перенесенный носителями тока через поперечное сечение проводника, расположенное перпендикулярно скорости носителей тока, за промежуток времени Δt.

Сила тока является скалярной величиной.

За направление тока условно принято направление движения положительных зарядов.

В Международной системе единиц сила тока измеряется в амперах (1 А).

Заряд, перенесенный носителями тока через поперечное сечение проводника, расположенное перпендикулярно скорости носителей тока, за некоторый промежуток времени, представляет собой произведение

Q = Nq,

где N — число носителей тока, прошедших через поперечное сечение проводника за указанное время; q — модуль заряда носителя тока (если носителями тока являются электроны, то q = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл).

Заряд, перенесенный носителями тока через поперечное сечение проводника, расположенное перпендикулярно скорости носителей тока, за некоторый промежуток времени Δt, может быть рассчитан следующим образом:

для постоянного тока —

Q = I∆t,

где I — сила постоянного тока;

для непостоянного тока — двумя способами:

1) по формуле —

$Q = 〈 I 〉 Δ t$ ,

где $〈 I 〉$ — средняя сила тока;

2) графически — как площадь криволинейной трапеции (рис. 8.1).

Рис. 8.1

В Международной системе единиц заряд измеряется в кулонах (1 Кл).

Сила тока определяется скоростью, концентрацией и зарядом носителей тока, а также площадью поперечного сечения проводника:

I = qnSv,

где q — модуль заряда носителя тока (если носителями тока являются электроны, то q = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл); n — концентрация носителей тока, n = = N/V; N — число носителей тока, прошедших через поперечное сечение проводника (расположенное перпендикулярно скорости движения носителей тока) за время Δt, или число носителей тока в объеме V = SvΔt (рис. 8.2); S — площадь поперечного сечения проводника; v — модуль скорости движения носителей тока.

Рис. 8.2

Плотность тока определяется силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, расположенного перпендикулярно направлению тока:

$j = \frac{I}{S}$ ,

где I — сила тока; S — площадь поперечного сечения проводника (расположенного перпендикулярно скорости движения носителей тока).

Плотность тока является векторной величиной.

Направление плотности тока $\vec{j}$ совпадает с направлением скорости движения положительных носителей тока:

$\vec{j} = q n \vec{v}$ ,

где q — модуль заряда носителя тока (если носителями тока являются электроны, то q = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл); $\vec{v}$ — скорость движения носителей тока; n — концентрация носителей тока, n = N/V; N — число носителей тока, прошедших через поперечное сечение проводника (расположенное перпендикулярно скорости движения носителей тока) за время Δt, или число носителей тока в объеме V = SvΔt (рис. 8.2); v — модуль скорости движения носителей тока; S — площадь поперечного сечения проводника.

В Международной системе единиц плотность тока измеряется в амперах, деленных на квадратный метр (1 А/м²).

Сила тока в газах (электрический ток в газах вызывается движением ионов) определяется формулой

$I = \frac{N}{t} \cdot | q |$ ,

где N/t — число ионов, которые проходят через поперечное сечение сосуда каждую секунду (ежесекундно); |q| — модуль заряда иона:

для однозарядного иона —

|q| = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл,

для двухзарядного иона —

|q| = 3,2 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл

и т.п.

Пример 1. Число свободных электронов в 1,0 м³ меди равно 1,0 ⋅ 10²⁸. Найти величину скорости направленного движения электронов в медном проводе с площадью поперечного сечения 4,0 мм², по которому протекает ток 32 А.

Решение. Скорость направленного движения носителей тока (электронов) связана с силой тока в проводнике формулой

I = qnSv,

где q — модуль заряда носителя тока (электрона); n — концентрация носителей тока; S — площадь поперечного сечения проводника; v — модуль скорости направленного движения носителей тока в проводнике.

Выразим из данной формулы искомую величину — скорость носителей тока —

$v = \frac{I}{q n S}$ .

Для вычисления скорости воспользуемся следующими значениями входящих в формулу величин:

величина силы тока и площадь поперечного сечения проводника заданы в условии задачи: I = 32 А, S = 4,0 мм² = 4,0 ⋅ 10⁻⁶ м²;
значение элементарного заряда (равного модулю заряда электрона) является фундаментальной константой (постоянной величиной): q = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл;
концентрация носителей тока — число носителей тока в единице объема проводника —

$n = \frac{N}{V} = \frac{1,0 \cdot 10^{28}}{1} = 1,0 \cdot 10^{28}$ м⁻³.

Произведем вычисление:

$v = \frac{32}{1,6 \cdot 10^{- 19} \cdot 1,0 \cdot 10^{28} \cdot 4,0 \cdot 10^{- 6}} = 5,0 \cdot 10^{- 3} м/с = 5,0 мм/с$ .

Скорость направленного движения электронов в указанном проводнике составляет 5,0 мм/с.

Пример 2. Сила тока в проводнике равномерно возрастает от 10 до 12 А за 12 с. Какой заряд проходит через поперечное сечение проводника за указанный интервал времени?

Решение. Сила тока в проводнике изменяется с течением времени. Поэтому заряд, перенесенный носителями тока через поперечное сечение проводника, расположенное перпендикулярно скорости носителей тока, за некоторый промежуток времени, можно рассчитать двумя способами.

1. Искомый заряд можно вычислить, используя формулу

$Q = 〈 I 〉 Δ t$ ,

где $〈 I 〉$ — средняя сила тока; ∆t — интервал времени, ∆t = 12 с.

Сила тока возрастает в проводнике равномерно; следовательно, средняя сила тока определяется выражением

$〈 I 〉 = \frac{I_{1} + I_{2}}{2}$ ,

где I ₁ — значение силы тока в начальный момент времени, I ₁ = 10 А; I ₂ — значение силы тока в конечный момент времени, I ₂ = 12 А.

Подставив выражение средней силы тока в формулу для вычисления заряда, получим

$Q = \frac{(I_{1} + I_{2}) Δ t}{2}$ .

Расчет дает значение

$Q = \frac{(10 + 12) \cdot 12}{2} = 132$ Кл = 0,13 кКл.

2. Искомый заряд можно рассчитать графически по графику зависимости силы тока от времени.

На рисунке представлена заданная в условии задачи зависимость I(t).

Заряд, перенесенный носителями тока через поперечное сечение проводника, расположенное перпендикулярно скорости носителей тока, за указанный промежуток времени, численно равен площади трапеции, ограниченной четырьмя линиями:

прямой линией I(t);
перпендикуляром к оси времени, восстановленным из точки t ₁;
перпендикуляром к оси времени, восстановленным из точки t ₂;
осью времени t.

Вычисление произведем по формуле площади трапеции:

$Q = \frac{12 + 10}{2} \cdot 12 = 132$ Кл = 0,13 кКл.

Оба способа расчета заряда, перенесенного носителями тока за указанный промежуток времени, дают одинаковый результат.

Физика