Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

5.4. Практическое применение уравнения состояния идеального газа

5.4.3. Уравнение состояния для газа, находящегося в сосуде под поршнем

Для идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, необходимо учитывать следующее:

масса газа, находящегося в сосуде под поршнем, вследствие изменения термодинамических параметров газа не изменяется:

m = const;

постоянным остается также количество вещества (газа):

ν = const;

плотность газа и концентрация его молекул (атомов) изменяются:

ρ ≠ const, n ≠ const.

Пусть изменение состояния идеального газа, находящегося в цилиндрическом сосуде под поршнем, вызвано действием на поршень внешней силы $\vec{F}$ (рис. 5.9).

Рис. 5.9

Начальное и конечное состояния газа в сосуде под поршнем описываются следующими уравнениями:

$\begin{array}{l} p_{1} V_{1} = ν R T_{1}, \\ p_{2} V_{2} = ν R T_{2}, \end{array}}$

где p ₁, V ₁, T ₁ — давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p ₂, V ₂, T ₂ — давление, объем и температура газа в конечном состоянии; ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Условия равновесия поршня, закрывающего идеальный газ в сосуде (см. рис. 5.9), в начале процесса и в конце процесса выглядят следующим образом:

$\begin{array}{l} M g + F_{A} = F_{1}, \\ M g + F_{A} + F = F_{2}, \end{array}}$

где M — масса поршня; g — модуль ускорения свободного падения; F _A — модуль силы атмосферного давления, F _A = p _AS; p _A — атмосферное давление; S — площадь сечения поршня; F ₁ — модуль силы давления газа на поршень в начале процесса, F ₁ = p ₁S; p ₁ — давление газа в сосуде в начальном состоянии; F — модуль силы, вызывающей сжатие газа; F ₂ — модуль силы давления газа на поршень в конце процесса, F ₂ = p ₂S; p ₂ — давление газа в сосуде в конечном состоянии.

Температура идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, может как изменяться, так и оставаться неизменной:

если процесс движения поршня происходит достаточно быстро, то температура газа изменяется —

T ≠ const;

если процесс происходит медленно, то температура газа остается постоянной –

T = const.

Давление идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, также может изменяться или оставаться неизменным:

если в задаче сказано, что поршень является легкоподвижным, то давление газа под поршнем — неизменно (в том случае, когда из условия задачи не следует обратное) — p = const;
в остальных случаях давление газа под поршнем изменяется — p ≠ const.

Масса поршня, закрывающего газ в сосуде, либо равна нулю, либо имеет отличное от нуля значение:

если в задаче сказано, что поршень является легким или невесомым, то масса поршня считается равной нулю —

M = 0;

в остальных случаях поршень обладает определенной ненулевой массой —

M ≠ const.

Пример 19. В вертикальном цилиндре под легкоподвижным поршнем сечением 250 мм² и массой 1,80 кг находится 360 см³ газа. Атмосферное давление равно 100 кПа. На поршень поставили гири, и он сжал газ до объема 240 см³. Температура газа при его сжатии не изменяется. Определить массу гирь.

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

сила тяжести поршня $M \vec{g}$ ;
сила атмосферного давления ${\vec{F}}_{A}$ ;
сила давления газа ${\vec{F}}_{1}$ , действующая со стороны газа (до его сжатия);
сила давления газа ${\vec{F}}_{2}$ , действующая со стороны газа (после его сжатия);
$m \vec{g}$ — вес гирь.

Условие равновесия поршня запишем в следующем виде:

до сжатия газа —

F ₁ = Mg + F _A,

где F ₁ — модуль силы давления газа, F ₁ = p ₁S; p ₁ — давление газа до сжатия; S — площадь поршня; Mg — модуль силы тяжести поршня; M — масса поршня; F _A — модуль силы атмосферного давления, F _A = p _AS; p _A — атмосферное давление; g — модуль ускорения свободного падения;

после сжатия газа —

F ₂ = Mg + F _A + mg,

где F ₂ — модуль силы давления газа, F ₂ = p ₂S; p ₂ — давление газа после сжатия; mg — вес гирь; m — масса гирь.

Считая процесс сжатия газа изотермическим, запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для газа под поршнем следующим образом:

до его сжатия —

p ₁V ₁ = νRT,

где V ₁ — первоначальный объем газа под поршнем; ν — количество газа под поршнем; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (не изменяется в ходе процесса);

после его сжатия —

p ₂V ₂ = νRT,

где V ₂ — объем сжатого поршнем газа.

Равенство

p ₁V ₁ = p ₂V ₂

и два условия равновесия, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

$\begin{array}{l} p_{1} S = M g + p_{A} S, \\ p_{2} S = M g + p_{A} S + m g, \\ p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}, \end{array}}$

которую требуется решить относительно массы гирь m.

Для этого выразим отношение давлений p ₂/p ₁ из первой пары уравнений:

$\frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{M g + p_{A} S + m g}{M g + p_{A} S}$

и из третьего уравнения:

$\frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$ ,

запишем равенство правых частей полученных отношений:

$\frac{M g + p_{A} S + m g}{M g + p_{A} S} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

Отсюда следует, что искомая масса определяется формулой

$m = (M + \frac{p_{A} S}{g}) (\frac{V_{1}}{V_{2}} - 1)$ .

Вычисление дает результат:

$m = (1,80 + \frac{100 \cdot 10^{3} \cdot 250 \cdot 10^{- 6}}{10}) (\frac{360 \cdot 10^{- 6}}{240 \cdot 10^{- 6}} - 1) = 2,15$ кг.

Указанное сжатие газа вызвано гирями массой 2,15 кг.

Пример 20. Открытый цилиндрический сосуд сечением 10 см² плотно прикрывают пластиной массой 1,2 кг. Атмосферное давление составляет 100 кПа, а температура окружающего воздуха равна 300 К. На сколько градусов нужно нагреть воздух в сосуде, чтобы он приподнял пластину?

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на пластину после нагревания газа:

сила тяжести пластины $M \vec{g}$ ;
сила атмосферного давления ${\vec{F}}_{A}$ ;
сила давления газа ${\vec{F}}_{2}$ , действующая на пластину со стороны нагретого газа.

Пластина находится в состоянии неустойчивого равновесия; условие равновесия пластины выглядит следующим образом:

F ₂ = Mg + F _A,

где F ₂ — модуль силы давления нагретого газа, F ₂ = p ₂S; p ₂ — давление нагретого газа; S — площадь сечения сосуда; Mg — модуль силы тяжести пластины; M — масса пластины; g — модуль ускорения свободного падения; F _A — модуль силы атмосферного давления, F _A = p _AS; p _A — атмосферное давление.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

для газа в сосуде до его нагревания

p ₁V = νRT ₁,

где p ₁ — давление газа в сосуде до нагревания (совпадает с атмосферным давлением), p ₁ = p _A; V — объем газа в сосуде; ν — количество вещества (газа) в сосуде; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T ₁ — температура газа в сосуде до нагревания (совпадает с температурой окружающей среды);

для газа в сосуде после его нагревания

p ₂V = νRT ₂,

где p ₂ — давление нагретого газа; T ₂ — температура нагретого газа.

Два уравнения состояния газа (до и после нагревания) и условие равновесия пластины, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

$\begin{array}{l} p_{A} V = ν R T_{1}, \\ p_{2} V = ν R T_{2}, \\ p_{2} S = M g + p_{A} S; \end{array}}$

систему необходимо решить относительно температуры T ₂, до которой следует нагреть газ.

Для этого делением первой пары уравнений

$\frac{p_{A} V}{p_{2} V} = \frac{ν R T_{1}}{ν R T_{2}}$

получим выражение для давления нагретого газа:

$p_{2} = \frac{p_{A} T_{2}}{T_{1}}$

и подставим его в третье уравнение системы:

$\frac{p_{A} T_{2} S}{T_{1}} = M g + p_{A} S$ .

Преобразуем полученное выражение к виду

$T_{2} = \frac{T_{1} (M g + p_{A} S)}{p_{A} S} = T_{1} (\frac{M g}{p_{A} S} + 1)$ ,

а затем найдем разность

$Δ T = T_{2} - T_{1} = \frac{M g T_{1}}{p_{A} S}$ .

Произведем вычисление:

$Δ T = \frac{1,2 \cdot 10 \cdot 300}{100 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot 10^{- 4}} = 36 К = 36$ °С.

Пример 21. В цилиндрическом сосуде поршень массой 75,0 кг и площадью сечения 50,0 см² начинает двигаться вверх. Давление газа под поршнем постоянно и равно 450 кПа, атмосферное давление составляет 100 кПа. Считая, что поршень движется без трения, определить модуль скорости поршня после прохождения им 3,75 м пути.

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

сила тяжести поршня $M \vec{g}$ ;
сила атмосферного давления ${\vec{F}}_{A}$ ;
сила давления газа $\vec{F}$ , действующая на поршень со стороны нагретого газа.

Под действием указанных сил, направленных вверх, поршень движется с ускорением $\vec{a}$ :

$\vec{F} + {\vec{F}}_{A} + M \vec{g} = m \vec{a}$ ,

или в проекции на вертикальную ось —

F − F _A − Mg = Ma,

где F — модуль силы давления газа под поршнем, F = pS; p — давление газа; S — площадь поршня; Mg — модуль силы тяжести поршня; M — масса поршня; g — модуль ускорения свободного падения; a — модуль ускорения поршня.

Преобразуем записанное уравнение, выразив модуль ускорения и выполнив подстановку выражений для модулей сил:

$a = \frac{F - F_{A} - M g}{M} = \frac{(p - p_{A}) S}{M} - g$ .

Скорость поршня, его ускорение и пройденный путь связаны между собой соотношением

$l = \frac{v^{2}}{2 a}$ ,

где l — пройденный путь; v — модуль скорости поршня.

Выразим отсюда модуль скорости поршня:

$v = \sqrt{2 a l}$

и подставим в записанную формулу выражение для модуля ускорения:

$v = \sqrt{2 l (\frac{(p - p_{A}) S}{M} - g)}$ .

Выполним расчет:

$v = \sqrt{2 \cdot 3,75 (\frac{(450 - 100) \cdot 10^{3} \cdot 50 \cdot 10^{- 4}}{75,0} - 10)} \approx 10$ м/с.

После прохождения 3,75 м пути поршень приобретет скорость, приблизительно равную 10 м/с.

Физика