Физика

Пример 13. Баллон рассчитан на максимальное избыточное давление 150 МПа. В него накачали газ при температуре 300 К до давления 120 МПа. Постепенно нагревая газ, баллон погружают в воду плотностью 1000 кг/м³ на глубину 1000 м. До какой максимальной температуры можно нагреть газ в баллоне, чтобы он не взорвался?

Решение. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в баллоне:

• в начале нагревания

p ₁V = νRT ₁;

• в конце нагревания

p ₂V = νRT ₂;

где p ₁ — первоначальное давление газа в баллоне; p ₂ — давление газа в баллоне в конце нагревания; V — объем газа (баллона), V = const; ν — количество вещества (газа) в баллоне; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T ₁ — температура газа в начале процесса; T ₂ — температура газа в конце процесса.

Отношение уравнений

$\frac{p_{1}V}{p_{2}V}=\frac{\nu R{T}_1}{\nu R{T}_2}$

позволяет определить давление газа в конце процесса:

$p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}$.

В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой

$p_{\text{изб}}^{\text{max}}=\left|p_2-p_0\right|$,

где p ₀ — давление снаружи баллона; p ₂ — давление газа внутри баллона.

При погружении баллона в воду с одновременным нагреванием указанные давления снаружи и внутри баллона определяются следующими формулами:

• снаружи (сумма атмосферного и гидростатического давлений) —

p ₀ = p _атм + p _гидр = p _атм + ρ₀gh,

где p _атм — атмосферное давление; p _гидр — гидростатическое давление, p _гидр = ρ₀gh; ρ₀ — плотность воды; g — модуль ускорения свободного падения; h — глубина погружения баллона;

• внутри (давление газа) —

$p_2=p_1\frac{T_2}{T_1},$

где T ₂ — максимальная температура газа (искомая величина).

Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает

$p_{\text{изб}}^{\text{max}}=\left|p_1\frac{T_2}{T_1}-{\rho }_{0}gh-p_{\text{атм}}\right|\approx \left|p_1\frac{T_2}{T_1}-{\rho }_{0}gh\right|$,

так как p _атм << ρ₀gh, p _атм << p ₂.

Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:

$p_{\text{изб}}^{\text{max}}=p_1\frac{T_2}{T_1}-{\rho }_{0}gh$, $p_{\text{изб}}^{\text{max}}={\rho }_{0}gh-p_1\frac{T_2}{T_1}$,

из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:

$T_2=T_1\cdot \frac{{\rho }_{0}gh+p_{\text{изб}}^{\text{max}}}{p_1}$, $T_2=T_1\cdot \frac{{\rho }_{0}gh-p_{\text{изб}}^{\text{max}}}{p_1}$.

Максимальному значению искомой температуры соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:

$T_2=300\cdot \frac{1000\cdot 10\cdot 1000+150\cdot {10}^6}{120\cdot {10}^6}=400$ К.

Чтобы баллон не взорвался, его можно погрузить на заданную глубину, одновременно нагревая до температуры 400 К.

Пример 14. Бутылка емкостью 0,75 л выдерживает максимальное избыточное давление 150 кПа. Из бутылки откачивают воздух и запечатывают некоторое количество твердого углекислого газа с молярной массой 44,0 г/моль. Атмосферное давление равно 100 кПа. Считая, что объем твердого углекислого газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом бутылки, найти его максимальную массу, которая не вызовет взрыва бутылки при температуре 300 К?

Решение. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для углекислого газа, находящегося в бутылке, после его превращения в газообразное состояние:

$pV=\frac{m}{M}RT$,

где p — давление углекислого газа в бутылке; V — объем газа (бутылки); m — масса углекислого газа в бутылке; M — молярная масса углекислого газа; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа.

Записанное уравнение позволяет получить выражение для расчета давления газа внутри бутылки:

$p=\frac{mRT}{VM}$.

В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой

$p_{\text{изб}}^{\text{max}}=\left|p-p_0\right|$,

где p ₀ — давление снаружи бутылки.

Указанные давления снаружи и внутри бутылки определяются следующим образом:

• снаружи (атмосферное давление) — p ₀;
• внутри (давление углекислого газа) —

$p=\frac{mRT}{VM}$,

где m соответствует искомой величине — максимальной массе углекислого газа.

Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает

$p_{\text{изб}}^{\text{max}}=\left|\frac{mRT}{VM}-p_0\right|$.

Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:

$p_{\text{изб}}^{\text{max}}=\frac{mRT}{VM}-p_0$, $p_{\text{изб}}^{\text{max}}=p_0-\frac{mRT}{VM}$,

из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:

$m=\frac{VM(p_0+p_{\text{изб}}^{\text{max}})}{RT}$, $m=\frac{VM(p_0-p_{\text{изб}}^{\text{max}})}{RT}$.

Максимальному значению искомой массы соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:

$m=\frac{\mathrm{0,75}\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{44,0}\cdot {10}^{-3}(100+150)\cdot {10}^3}{\mathrm{8,31}\cdot 300}=\mathrm{3,3}\cdot {10}^{-3}\text{ кг}=\mathrm{3,3}\text{ г}$.

Чтобы бутылка не взорвалась, в нее можно запечатать не более 3,3 г твердого углекислого газа.

Пример 15. В наличии имеется неограниченное количество баллонов объемом по 4,0 л, заполненных некоторым идеальным газом до давления 500 кПа. Баллоны предназначены для наполнения газом оболочки аэрозонда и их можно соединять между собой. Сколько баллонов с газом необходимо одновременно подсоединить к пустой оболочке аэрозонда объемом 800 дм³, чтобы наполнить ее до давления 100 кПа, равного атмосферному? Температура газа при заполнении оболочки не изменяется.

Решение. Для осуществления процесса, описанного в условии задачи, требуется определенное количество газа ν.

Необходимое количество газа заполняет следующий объем:

• в начале процесса (до заполнения оболочки)

V ₁ = NV _бал,

где N — количество баллонов; V _бал — объем одного баллона, V _бал = 4,0 л;

• в конце процесса (после заполнения оболочки)

V ₂ = NV _бал + V _обол,

где V _обол — объем оболочки, V _обол = 800 дм³.

Указанное количество газа находится при давлении:

• в начале процесса (до заполнения оболочки) —

p ₁ = 500 кПа

и совпадает с давлением газа в каждом из баллонов;

• в конце процесса (после заполнения оболочки) —

p ₂ = 100 кПа

и совпадает с давлением в оболочке.

Считая процесс заполнения газом оболочки аэрозонда изотермическим, запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

• в начале процесса (до заполнения оболочки) —

p ₁V ₁ = νRT,

где ν — количество вещества (газа) в оболочке; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (не изменяется в ходе процесса);

• в конце процесса (после заполнения оболочки) —

p ₂V ₂ = νRT.

Равенство

p ₁V ₁ = p ₂V ₂,

записанное в явном виде

p ₁NV _бал = p ₂(NV _бал + V _обол),

позволяет получить формулу для вычисления искомого числа баллонов:

$N=\frac{V_{\text{обол}}}{V_{\text{бал}}}\cdot \frac{p_2}{p_1-p_2}$.

Произведем расчет:

$N=\frac{800\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-3}}\cdot \frac{100\cdot {10}^3}{(500-100)\cdot {10}^3}=50$.

Следовательно, для заполнения оболочки до указанного давления необходимо 50 баллонов с газом.

Пример 16. Аэростат, оболочка которого заполнена азотом с молярной массой 28 г/моль, находится в воздухе. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. Массы гондолы и оболочки аэростата пренебрежимо малы. Во сколько раз возрастет подъемная сила аэростата, если азот в его оболочке заменить на водород с молярной массой 2,0 г/моль, не изменяя при этом объем аэростата?

Решение. Силы (сила тяжести $m\overrightarrow{g}$ и сила Архимеда ${\overrightarrow{F}}_{\text{A}}$), действующие на аэростат, показаны на рисунке.

Подъемная сила — это векторная сумма силы тяжести и силы Архимеда:

${\overrightarrow{F}}_{\text{под}}={\overrightarrow{F}}_{\text{A}}+m\overrightarrow{g}$,

где ${\overrightarrow{F}}_{\text{A}}$ — сила Архимеда, действующая на оболочку со стороны воздуха; $m\overrightarrow{g}$ — сила тяжести; m — масса газа, заполняющего оболочку аэростата; $\overrightarrow{g}$ — ускорение свободного падения.

В проекциях на вертикальную ось подъемная сила определяется следующими выражениями:

• при заполнении оболочки азотом —

F _под1 = F _A1 − m ₁g,

где F _A1 — модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки азотом, F _A1 = ρ₀gV ₁; ρ₀ — плотность воздуха; V ₁ — объем оболочки аэростата при заполнении ее азотом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m ₁ — масса азота, заполняющего оболочку, m ₁ = ρ₁V ₁; ρ₁ — плотность азота;

• при заполнении оболочки водородом —

F _под2 = F _A2 − m ₂g,

где F _A2 — модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки водородом, F _A2 = ρ₀gV ₂; V ₂ — объем оболочки аэростата при заполнении ее водородом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m ₂ — масса водорода, заполняющего оболочку, m ₂ = ρ₂V ₂; ρ₂ — плотность водорода.

Искомой величиной является отношение

$\frac{F_{\text{под}2}}{F_{\text{под}1}}=\frac{F_{\text{A}2}-m_{2}g}{F_{\text{A}1}-m_{1}g}$.

С учетом записанных выражений для сил Архимеда, масс азота и водорода, а также равенства объемов оболочки при заполнении ее азотом и водородом (V ₁ = V ₂), указанное отношение принимает вид

$\frac{F_{\text{под}2}}{F_{\text{под}1}}=\frac{{\rho }_{0}g{V}_2-{\rho }_2{V}_{2}g}{{\rho }_{0}g{V}_1-{\rho }_1{V}_{1}g}=\frac{({\rho }_0-{\rho }_2)V_{2}g}{({\rho }_0-{\rho }_1)V_{1}g}=\frac{{\rho }_0-{\rho }_2}{{\rho }_0-{\rho }_1}$.

Плотности воздуха, азота и водорода определим как отношения:

• для воздуха

${\rho }_0=\frac{M_0}{V_{\mu 0}}$,

где M ₀ — молярная масса воздуха; V _µ0 — молярный объем воздуха;

• для азота

${\rho }_1=\frac{M_1}{V_{\mu 1}}$,

где M ₁ — молярная масса азота; V _µ1 — молярный объем азота;

• для водорода

${\rho }_2=\frac{M_2}{V_{\mu 2}}$,

где M ₂ — молярная масса водорода; V _µ2 — молярный объем водорода.

Молярные объемы (объемы одного моля) воздуха, азота и водорода равны между собой, так как газы находятся при одних и тех же условиях:

V _µ0 = V _µ1 = V _µ2 = V _µ.

Поэтому формула для расчета искомого отношения приобретает вид

$\frac{F_{\text{под}2}}{F_{\text{под}1}}=\frac{{\rho }_0-{\rho }_2}{{\rho }_0-{\rho }_1}=\frac{M_0-M_2}{M_0-M_1}$.

Расчет дает значение:

$\frac{F_{\text{под}2}}{F_{\text{под}1}}=\frac{29\cdot {10}^{-3}-\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-3}}{29\cdot {10}^{-3}-28\cdot {10}^{-3}}=27$.

При замене азота на водород в оболочке аэростата его подъемная сила возрастет в 27 раз.

Пример 17. Воздушный шар с температурой 300 К находится в воздухе при атмосферном давлении 100 кПа. Молярная масса воздуха составляет 29,0 г/моль. Объем воздушного шара равен 830 дм³, а масса его оболочки равна 333 г. На сколько градусов необходимо нагреть газ в оболочке, чтобы шар взлетел? Воздух в оболочке шара сообщается с атмосферой.

Решение. Силы, действующие на воздушный шар, показаны на рисунке:

• сила Архимеда

F _A = ρ₀gV,

где ρ₀ — плотность воздуха, окружающего шар; g — модуль ускорения свободного падения; V — объем оболочки шара (объем вытесненного оболочкой воздуха);

• сила тяжести

mg = (m _обол + m _возд)g,

где m _обол — масса оболочки; m _возд — масса воздуха в оболочке, m _возд = ρV; ρ — плотность воздуха внутри оболочки.

Шар взлетает, когда выполняется равенство

${\overrightarrow{F}}_{\text{A}}+m\overrightarrow{g}=\mathrm{0,}$

или, в проекции на вертикальную ось, —

F _A − mg = 0.

Преобразуем равенство (условие равновесия шара в воздухе)

F _A = mg

с учетом записанных выше выражений

ρ₀gV = (m _обол + m _возд)g, или (ρ₀ − ρ)V = m _обол.

Входящие в равенство плотности воздуха не известны, но фигурируют в качестве параметра в уравнении состояния:

• для воздуха снаружи оболочки воздушного шара

$p_0=\frac{{\rho }_{0}R{T}_1}{M}$,

где p ₀ — атмосферное давление; ρ₀ — плотность воздуха снаружи оболочки; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T ₁ — температура окружающего шар воздуха; M — молярная масса воздуха;

• для воздуха внутри оболочки воздушного шара

$p=\frac{\rho R{T}_2}{M}$,

где p — давление воздуха внутри оболочки; ρ — плотность воздуха внутри оболочки; T ₂ — температура воздуха внутри оболочки.

Давления воздуха внутри и снаружи оболочки воздушного шара одинаковы, так как воздух, находящийся в оболочке, сообщается с атмосферой; поэтому

p = p ₀.

Плотности:

• для воздуха снаружи оболочки воздушного шара

${\rho }_0=\frac{p_{0}M}{R{T}_1}$;

• для воздуха внутри оболочки воздушного шара

$\rho =\frac{p_{0}M}{R{T}_2}$.

Подставим выражения для плотностей в условие равновесия шара в воздухе:

$\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)\frac{p_{0}MV}{R}=m_{\text{обол}}$.

Температура воздуха внутри оболочки, при которой шар начинает взлетать, определяется как

$T_2=\frac{p_{0}MV{T}_1}{p_{0}MV-R{T}_1{m}_{\text{обол}}}$,

а искомая разность —

$\Delta T=T_2-T_1=\frac{p_{0}MV{T}_1}{p_{0}MV-R{T}_1{m}_{\text{обол}}}-T_1=\frac{T_1}{\frac{p_{0}MV}{R{T}_1{m}_{\text{обол}}}-1}$.

Произведем вычисление:

$\Delta T=\frac{300}{\frac{100\cdot {10}^3\cdot \mathrm{29,0}\cdot {10}^{-3}\cdot 830\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{8,31}\cdot 300\cdot 333\cdot {10}^{-3}}-1}=158$ К.

Следовательно, чтобы воздушный шар начал взлетать, воздух в его оболочке необходимо нагреть на 158 К, или 158 °С.

Пример 18. Камеру футбольного мяча объемом 3,00 л накачивают с помощью насоса, забирающего из атмосферы 0,150 л воздуха при каждом качании. Атмосферное давление составляет 100 кПа. Определить давление в камере после 30 качаний, если первоначально она была пустой. Температура постоянна.

Решение. За N качаний насос забирает из атмосферы определенное количество воздуха ν. Это же количество воздуха попадает в камеру футбольного мяча.

Указанное количество воздуха имеет следующий объем:

• воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, —

V ₁ = NV _нас,

где V _нас — объем насоса, V _нас = 0,150 л; N — количество качаний;

• воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, —

V ₂ = V _мяч,

где V _мяч — объем камеры мяча, V _мяч = 3,00 л.

Данное количество воздуха находится при следующем давлении:

• воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, —

p ₁ = 100 кПа

совпадает с атмосферным давлением;

• воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, — p ₂ (является искомой величиной).

Считая процесс заполнения воздухом камеры мяча изотермическим, запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

• для воздуха, забранного из атмосферы за N качаний насоса, —

p ₁V ₁ = νRT,

где R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (не изменяется в ходе процесса);

• для воздуха, накачанного в камеру футбольного мяча, —

p ₂V ₂ = νRT.

Равенство

p ₁V ₁ = p ₂V ₂,

записанное в явном виде

p ₁NV _нас = p ₂V _мяч,

позволяет получить формулу для вычисления давления в камере футбольного мяча:

$p_2=\frac{p_{1}N{V}_{\text{нас}}}{V_{\text{мяч}}}$.

Произведем вычисление:

$p_2=\frac{100\cdot {10}^3\cdot 30\cdot \mathrm{0,15}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{3,00}\cdot {10}^{-3}}=150\cdot {10}^3\text{ Па}=150$ кПа.