Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

5.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

5.2.3. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории и уравнение состояния идеального газа

Связь между параметрами газа (давлением, объемом и температурой) устанавливается с помощью основного уравнения молекулярно-кинетической теории (МКТ) или уравнения Менделеева — Клапейрона, а также объединенного газового закона.

Давление идеального газа определяется концентрацией молекул и температурой газа (основное уравнение МКТ):

p = nkT,

где n — концентрация газа (число молекул в единице объема), n = N/V; N — число частиц (атомов или молекул), содержащихся в указанном количестве газа; V — объем, который занимает указанное количество газа; k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10⁻²³ Дж/К; T — термодинамическая температура.

Основное уравнение МКТ можно также записать в другой форме:

$p = \frac{1}{3} m_{0} {〈 v_{кв} 〉}^{2} n$ ; $p = \frac{2}{3} n 〈 E_{k} 〉$ ; $p = \frac{1}{3} ρ {〈 v_{кв} 〉}^{2}$ ,

где m ₀ — масса одной молекулы; $〈 v_{кв} 〉$ — среднеквадратичная скорость; $〈 E_{k} 〉$ — кинетическая энергия поступательного движения молекулы; ρ — плотность газа.

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева — Клапейрона:

pV = νRT,

где p — давление газа; V — его объем; ν — количество газа; m — масса газа; M — молярная масса газа; N — число молекул (атомов) газа в указанном количестве вещества; N _A — постоянная (число) Авогадро, N _A ≈ 6,02 ⋅ 10²³ моль⁻¹; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — термодинамическая (абсолютная) температура газа.

При решении задач идеальный газ иногда удобно описывать уравнением, вытекающим из уравнения Менделеева — Клапейрона, т.е. использовать вторую форму записи уравнения состояния идеального газа:

$p = \frac{ρ R T}{M}$ ,

где р — давление газа; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); ρ — плотность газа; Т — термодинамическая (абсолютная) температура газа; M — молярная масса газа.

Объединенный газовый закон для постоянной (неизменной) массы газа связывает основные термодинамические параметры идеального газа (давление, объем, температуру) уравнением

$\frac{p V}{T} = const$ ,

где p — давление газа; V — объем, занимаемый газом; T — термодинамическая (абсолютная) температура газа.

Пример 7. К резиновой оболочке, начальный объем которой равен нулю, присоединили баллон объемом 2,00 л с гелием под давлением 200 кПа. При постоянной температуре оболочка раздувается до объема 6,00 л. Найти установившееся давление газа.

Решение. При раздувании оболочки часть газа остается в баллоне, а часть — переходит в оболочку. В процессе расширения газ занимает весь предоставленный объем (баллона и оболочки).

Объем газа изменяется:

в начале процесса (до заполнения оболочки)

V ₁ = V _бал,

где V _бал — объем баллона;

в конце процесса (после заполнения оболочки)

V ₂ = V _бал + V _обол,

где V _обол — объем оболочки.

Давление газа в процессе расширения также изменяется:

в начале процесса (до заполнения оболочки)

p ₁ = 200 кПа

и совпадает с давлением в баллоне;

в конце процесса (после заполнения оболочки) — p ₂ (является искомой величиной).

Процесс заполнения газом оболочки происходит при постоянной температуре. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

в начале процесса (до заполнения оболочки)

p ₁V ₁ = νRT,

где ν — количество газа; T — температура газа; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К);

в конце процесса (после заполнения оболочки)

p ₂V ₂ = νRT.

Равенство

p ₁V ₁ = p ₂V ₂,

записанное в явном виде

p ₁V _бал = p ₂(V _бал + V _обол),

позволяет получить формулу для вычисления искомого давления:

$p_{2} = \frac{p_{1} V_{бал}}{V_{бал} + V_{обол}}$ .

Произведем расчет:

$p_{2} = \frac{200 \cdot 10^{3} \cdot 2,00 \cdot 10^{- 3}}{(2,00 + 6,00) \cdot 10^{- 3}} = 50,0 \cdot 10^{3} Па = 50,0$ кПа.

Следовательно, при заполнении оболочки в газе устанавливается давление 50 кПа.

Физика