Физика

Пример 4. На сколько процентов возрастет средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа при увеличении его температуры от 7,0 до 35 °С?

Решение. Искомой величиной является отношение

$\eta =\frac{\Delta E}{E_1}\cdot 100\text{ \%}$,

где ΔE — абсолютное увеличение средней кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа при указанном повышении температуры, ΔE = E ₂ − E ₁; E ₁ и E ₂ — средние кинетические энергии поступательного движения молекулы идеального газа при температурах T ₁ и T ₂ соответственно.

Преобразуем это отношение следующим образом:

$\eta =\frac{E_2-E_1}{E_1}\cdot 100\text{ \%}=\left(\frac{E_2}{E_1}-1\right)\cdot 100\text{ \%}$.

Для определения средней кинетической энергии молекул необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в кельвины:

T ₁ = t ₁ + 273 = 7,0 + 273 = 280 K;

T ₂ = t ₂ + 273 = 35 + 273 = 308 K.

Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы газа при указанных температурах запишем в следующем виде:

• для начальной температуры —

$E_1=\frac{3}{2}k{T}_1$;

• для конечной температуры —

$E_2=\frac{3}{2}k{T}_2$,

где k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10⁻²³ Дж/К.

Подстановка полученных выражений в формулу для вычисления η дает:

$\eta =\left(\frac{E_2}{E_1}-1\right)\cdot 100\text{ \%}=\left(\frac{3k{T}_2}{2}\cdot \frac{2}{3k{T}_1}-1\right)\cdot 100\text{ \%}=\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\cdot 100\text{ \%}$.

Произведем вычисление:

$\eta =\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\cdot 100\text{ \%}=\left(\frac{308}{280}-1\right)\cdot 100\text{ \%}=10\text{ \%}$.

Следовательно, при указанном повышении температуры средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа увеличилась на 10 %.

Пример 5. Кислород и водород одинаковой температуры имеют молярные массы 32 и 2,0 г/моль соответственно. Во сколько раз среднеквадратичная скорость молекул кислорода меньше, чем среднеквадратичная скорость молекул водорода?

Решение. Среднеквадратичная скорость молекул газа определяется его температурой и зависит от молярной массы газа:

$\langle v_{\text{кв}}\rangle =\sqrt{\frac{3RT}{M}}$,

где R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — термодинамическая (абсолютная) температура газа; M — молярная масса газа.

Среднеквадратичные скорости молекул указанных в условии газов определяются выражениями:

• для кислорода

$\langle v_{\text{кв}1}\rangle =\sqrt{\frac{3RT}{M_1}}$,

где M ₁ — молярная масса кислорода;

• для водорода

$\langle v_{\text{кв}2}\rangle =\sqrt{\frac{3RT}{M_2}}$,

где M ₂ — молярная масса водорода.

Искомой величиной является отношение

$\frac{\langle v_{\text{кв}2}\rangle }{\langle v_{\text{кв}1}\rangle }=\sqrt{\frac{3RT}{M_2}}\cdot \sqrt{\frac{M_1}{3RT}}=\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$.

Расчет дает значение

$\frac{\langle v_{\text{кв}2}\rangle }{\langle v_{\text{кв}1}\rangle }=\sqrt{\frac{32\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-3}}}=\sqrt{16}=\mathrm{4,0}$.

При одинаковой температуре среднеквадратичная скорость молекул водорода в 4 раза превышает среднеквадратичную скорость молекул кислорода.

Пример 6. Аргон молярной массой 40,0 г/моль находится под давлением 20,0 кПа. Концентрация молекул аргона при указанном давлении составляет 3,00 ⋅ 10²⁵ м⁻³. Определить среднеквадратичную скорость молекулы аргона.

Решение. Среднеквадратичная скорость молекул газа может быть вычислена по формуле

$\langle v_{\text{кв}}\rangle =\sqrt{\frac{3p}{\rho }}$,

где p — давление газа; ρ — плотность газа.

Давление аргона задано в условии задачи. Установим связь между плотностью аргона и его концентрацией.

Концентрация — это число молекул (атомов) в единице объема:

$n=\frac{N}{V}$,

где N — число атомов аргона в объеме V, N = νN _A; ν — количество вещества (аргона), ν = m/M; m — масса аргона, m = ρV; M — молярная масса аргона.

С учетом выражений для числа молекул аргона, количества вещества и его массы преобразуем формулу для вычисления концентрации к виду

$n=\frac{\nu N_{\text{A}}}{V}=\frac{m\cdot N_{\text{A}}}{M\cdot V}=\frac{\rho N_{\text{A}}}{M}$,

где ρ — плотность аргона.

Выразим отсюда плотность

$\rho =\frac{nM}{N_{\text{A}}}$

и подставим в формулу для среднеквадратичной скорости:

$\langle v_{\text{кв}}\rangle =\sqrt{\frac{3p{N}_{\text{A}}}{nM}}$.

Произведем вычисление:

$\langle v_{\text{кв}}\rangle =\sqrt{\frac{3\cdot \mathrm{20,0}\cdot {10}^3\cdot \mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}}{\mathrm{3,00}\cdot {10}^{25}\cdot \mathrm{40,0}\cdot {10}^{-3}}}=\sqrt{\mathrm{3,01}\cdot {10}^4}=173$ м/с.