Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

5.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

5.2.1. Термодинамические параметры газа и основные характеристики вещества

Для описания состояния идеального газа используют термодинамические параметры (температуру, давление, объем).

Температура T характеризует интенсивность теплового движения молекул. В Международной системе единиц температура измеряется в кельвинах (1 К). Термодинамическая (абсолютная) температура (в кельвинах, К) связана с температурой (в градусах Цельсия, °С) формулой

T = t + 273,

где T — термодинамическая (абсолютная) температура; t — температура по шкале Цельсия.

Давление p газа определяется числом упругих столкновений молекул со стенками сосуда и зависит от массы молекул газа, их средней скорости и концентрации в сосуде. В Международной системе единиц давление измеряется в паскалях (1 Па).

Объем V газа совпадает с объемом сосуда, в котором он находится, т.е. газ занимает весь предоставленный ему объем. В Международной системе единиц объем измеряется в кубических метрах (1 м³).

Один моль — это количество вещества, содержащее столько же молекул, сколько содержится атомов в 0,012 кг углерода. В Международной системе единиц количество вещества измеряется в молях (1 моль). В 1 моль любого вещества (не только идеального газа) содержится 6,02 ⋅ 10²³ молекул (атомов).

Указанная величина является постоянной для любого вещества и имеет специальное название — число (постоянная) Авогадро:

N _A = 6,02 ⋅ 10²³ моль⁻¹.

В Международной системе единиц постоянная Авогадро измеряется в обратных молях (1 моль⁻¹).

Количество молекул (атомов) в некоторой массе вещества рассчитывается как произведение

N = νN _A,

где ν — количество вещества, ν = m/M; m — масса вещества; M — молярная масса вещества; N _A — постоянная Авогадро, N _A ≈ 6,02 ⋅ 10²³ моль⁻¹.

Плотность вещества ρ рассчитывается как отношение

$ρ = \frac{m}{V}$ ,

где m — масса вещества, содержащегося в объеме V.

В Международной системе единиц плотность измеряется в килограммах, деленных на кубический метр (1 кг/м³).

Относительная молекулярная масса M _r — это отношение массы молекулы данного вещества к 1/12 массы атома углерода:

$M_{r} = \frac{m_{0}}{\frac{1}{12} m_{C}}$ ,

где m ₀ — масса одной молекулы данного вещества; m _C — масса атома углерода.

Величина

$\frac{1}{12} m_{C} = 1,66 \cdot 10^{- 27} кг = 1$ a. e. м.

имеет специальное название — атомная единица массы.

Молярная масса M — это масса вещества, взятого в количестве 1 моль; она может быть рассчитана как:

1) отношение массы вещества к его количеству (в молях):

$M = \frac{m}{ν}$ ,

где m — масса вещества; ν — количество вещества;

2) произведение массы одной молекулы этого вещества на число Авогадро:

M = m ₀N _A,

где N _A — постоянная Авогадро, N _A ≈ 6,02 ⋅ 10²³ моль⁻¹.

В Международной системе единиц молярная масса измеряется в килограммах, деленных на моль (1 кг/моль).

Массу молекулы можно найти по одной из трех формул:

$m_{0} = \frac{m}{N}$ ; $m_{0} = \frac{ρ}{n}$ ; $m_{0} = \frac{M}{N_{A}}$ ,

где m — масса вещества; N — число частиц (атомов или молекул), содержащихся в указанной массе вещества; ρ — плотность вещества; n — концентрация вещества (число частиц в единице объема; измеряется в м^‒3), n = N/V; V — объем, который занимает указанная масса вещества; M — молярная масса данного вещества; N _A — постоянная Авогадро, N _A ≈ 6,02 ⋅ 10²³ моль⁻¹.

Молярный объем (объем 1 моль вещества) определяется отношением

$V_{μ} = \frac{M}{ρ}$ ,

где M — молярная масса вещества; ρ — плотность вещества.

При нормальных условиях (p = 101 325 Па = 760 мм рт. ст., t = 0 °С) молярный объем любого идеального газа составляет V _μ = 22,4 л/моль.

Пример 1. Медь имеет молярную массу 63 г/моль, а ее плотность равна 8,4 г/см³. Найти объем 10 моль меди.

Решение. Объем меди определяется выражением

$V = \frac{m}{ρ}$ ,

где m — масса меди; ρ — плотность меди.

Массу меди найдем по формуле

m = νM,

где ν — количество вещества (меди); M — молярная масса меди.

Таким образом, искомый объем

$V = \frac{ν M}{ρ}$ .

Вычисление дает результат:

$V = \frac{10 \cdot 63 \cdot 10^{- 3}}{8,4 \cdot 10^{3}} = 75 \cdot 10^{- 6}$ м³ = 75 см³.

Пример 2. Плотности меди и свинца равны 8,40 и 13,0 г/см³, а молярные массы — 64,0 и 208 г/моль соответственно. Во сколько раз число атомов меди в 2,0 м³ больше числа атомов свинца в 0,20 м³?

Решение. Число атомов (молекул) в некотором количестве вещества определяется формулой

N = νN _A,

где N _A — постоянная (число) Авогадро, N _A = 6,02 ⋅ 10²³ моль⁻¹; ν — количество вещества.

Количество вещества зависит от массы вещества и его молярной массы:

$ν = \frac{m}{M}$ ,

где m = ρV — масса вещества; ρ — плотность вещества; V — объем, который занимает данное вещество; M — молярная масса вещества.

Таким образом, количество атомов (молекул) некоторого вещества через характеристики, заданные в условии задачи, определяется выражением

$N = ν N_{A} = \frac{ρ V N_{A}}{M}$ .

Для меди и свинца полученная формула имеет следующий вид:

для меди

$N_{1} = \frac{ρ_{1} V_{1} N_{A}}{M_{1}}$ ,

где ρ₁ — плотность меди; V ₁ — объем, занятый медью; M ₁ — молярная масса меди;

для свинца

$N_{2} = \frac{ρ_{2} V_{2} N_{A}}{M_{2}}$ ,

где ρ₂ — плотность свинца; V ₂ — объем, занятый свинцом; M ₂ — молярная масса свинца.

Искомым является отношение

$\frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{ρ_{1} V_{1} N_{A}}{M_{1}} \cdot \frac{M_{2}}{ρ_{2} V_{2} N_{A}} = \frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} \cdot \frac{V_{1}}{V_{2}} \cdot \frac{M_{2}}{M_{1}}$ .

Произведем вычисление:

$\frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{8,40 \cdot 10^{3}}{13,0 \cdot 10^{3}} \cdot \frac{2,0}{0,20} \cdot \frac{208 \cdot 10^{- 3}}{64,0 \cdot 10^{- 3}} = 21$ .

Число атомов меди в 2,0 м³ больше числа атомов свинца в 0,20 м³ в 21 раз.

Пример 3. В озеро глубиной 50,0 м и площадью 100 км² бросили кристаллик соли массой 10,0 мг. Соль, растворившись, равномерно распределилась в озере. Молярная масса соли равна 40,0 г/моль. Сколько молекул соли находится в 1,0 мм³ воды?

Решение. Количество молекул соли в заданной массе вещества определяется выражением

$N = \frac{m}{M} N_{A}$ ,

где m — масса соли; M — молярная масса соли; N _A — постоянная (число) Авогадро, N _A = 6,02 ⋅ 10²³ моль⁻¹.

Используя данную формулу, определим концентрацию соли в озере (число молекул соли в единице объема воды):

$n = \frac{N}{V} = \frac{m N_{A}}{M V}$ ,

где V — объем озера, V = Sh; S — площадь озера; h — глубина озера.

С учетом выражения для объема данная формула выглядит следующим образом:

$n = \frac{m N_{A}}{M S h}$ .

Расчет дает значение:

$n = \frac{10,0 \cdot 10^{- 6} \cdot 6,02 \cdot 10^{23}}{40,0 \cdot 10^{- 3} \cdot 100 \cdot 10^{6} \cdot 50,0} = 30 \cdot 10^{9}$ м⁻³.

В Международной системе единиц объем измеряется в кубических метрах, т.е. в каждом кубическом метре воды из данного озера оказалось 30 ⋅ 10⁹ молекул соли.

В каждом кубическом миллиметре содержится в 10⁹ раз меньше молекул, т.е. концентрация молекул в пересчете на кубический миллиметр равна

$n^{'} = \frac{30 \cdot 10^{9}}{10^{9}} = 30$ мм⁻³.

Следовательно, в одном кубическом миллиметре оказалось 30 молекул соли.

Физика