Физика

Пример 29. Два тела, связанные невесомой нерастяжимой нитью, движутся по горизонтальной поверхности под действием силы, численно равной $50\sqrt{3} Н$ и приложенной под углом 30° к горизонту к одному из тел. Определить модуль силы натяжения нити, если коэффициент трения между телами и поверхностью равен 0,8. Масса тела, к которому приложена сила, равна 0,8 кг, масса второго тела — 1,2 кг.

Решение. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке.

Запишем второй закон Ньютона:

• для первого тела —

$\overrightarrow{F}+m_1\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{N}}_1+{\overrightarrow{T}}_1+{\overrightarrow{F}}_{\text{тр1}}=m_1{\overrightarrow{a}}_1$,

или в проекциях на координатные оси

$\begin{array}{l}Ox\text{: }F\cos \alpha -F_{\text{тр}1}-T_1=m_1{a}_1,\\ Oy\text{: }F\sin \alpha +N_1-m_{1}g=\mathrm{0,}\end{array}\}$

где m ₁ — масса первого тела; a ₁ — модуль ускорения первого тела; g — модуль ускорения свободного падения; N ₁ — модуль силы нормальной реакции опоры, действующей на первое тело; F _тр1 — модуль силы трения, действующей на первое тело; F — модуль силы, приложенной к первому телу под углом α к горизонту; T ₁ — модуль силы натяжения нити, действующей на первое тело;

• для второго тела —

${\overrightarrow{T}}_2+{\overrightarrow{F}}_{\text{тр}2}+{\overrightarrow{N}}_2+m_2\overrightarrow{g}=m_2{\overrightarrow{a}}_2$,

или в проекциях на координатные оси

$\begin{array}{l}Ox\text{: }{T}_2-F_{\text{тр}2}=m_2{a}_2, \\ Oy\text{: }{N}_2-m_{2}g=\mathrm{0,}\end{array}\}$

где m ₂ — масса второго тела; a ₂ — модуль ускорения второго тела; N ₂ — модуль силы нормальной реакции опоры, действующей на второе тело; F _тр2 — модуль силы трения, действующей на второе тело; T ₂ — модуль силы натяжения нити, действующей на второе тело.

С учетом

• выражений для сил трения

F _тр1 = µN ₁,

F _тр2 = µN ₂;

• условия невесомости нити

T ₁ = T ₂ = T;

• условия нерастяжимости нити

a ₁ = a ₂ = a

составим полную систему уравнений:

$\begin{array}{l}F\cos \alpha -\mu N_1-T=m_{1}a,\\ F\sin \alpha +N_1-m_{1}g=\mathrm{0,}\\ T-\mu N_2=m_{2}a,\\ N_2-m_{2}g=0.\end{array}\}$

Из второго и четвертого уравнений системы выразим силы нормальной реакции опоры, действующие на первое и второе тела:

N ₁ = m ₁g − F sin α,

N ₂ = m ₂g.

Полученные выражения подставим в первое и третье уравнения:

$\begin{array}{l}F\cos \alpha -\mu (m_{1}g-F\sin \alpha )-T=m_{1}a,\\ T-\mu m_{2}g=m_{2}a.\end{array}\}$

Система содержит два неизвестных: a и T. Величина силы натяжения нити T является искомой.

Деление уравнений

$\frac{F\cos \alpha -\mu (m_{1}g-F\sin \alpha )-T}{T-\mu m_{2}g}=\frac{m_1}{m_2}$

и последующие преобразования данного отношения позволяют получить формулу для вычисления силы натяжения нити:

$T=\frac{F{m}_2(\cos \alpha +\mu \sin \alpha )}{m_1+m_2}$.

Произведем расчет:

$T=\frac{50\sqrt{3}\cdot \mathrm{1,2}\left(\mathrm{0,5}\sqrt{3}+\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,5}\right)}{\mathrm{0,8}+\mathrm{1,2}}\approx 66$ Н.

Пример 30. Два тела, связанные нитью, перекинутой через невесомый блок, закреплены на вершине наклонной плоскости с углом 45° при основании. На наклонной плоскости находится тело массой 1,5 кг, масса свешивающегося тела равна 6,0 кг. Определить модуль силы натяжения нити, если коэффициент трения между первым телом и плоскостью равен 0,5. Трением в оси блока пренебречь.

Решение. Силы, действующие на тела, и оси системы координат, выбранные для каждого тела, показаны на рисунке.

Запишем второй закон Ньютона:

• для тела, находящегося на наклонной плоскости —

${\overrightarrow{F}}_{\text{тр}}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{T}}_1+m_1\overrightarrow{g}=m_1{\overrightarrow{a}}_1$,

или в проекциях на координатные оси

$\begin{array}{l}Ox\text{: }-F_{\text{тр}}+T_1-m_{1}g\sin \alpha =m_1{a}_1,\\ Oy\text{: }N-m_{1}g\cos \alpha =0.\end{array}\}$

где m ₁ — масса тела, находящегося на наклонной плоскости; a ₁ — модуль ускорения тела, находящегося на наклонной плоскости; g — модуль ускорения свободного падения; N — модуль силы нормальной реакции наклонной плоскости; F _тр = µN — модуль силы трения, действующей на тело со стороны наклонной плоскости; µ — коэффициент трения; T ₁ — модуль силы натяжения нити, действующей на тело, находящееся на наклонной плоскости; α — угол наклона плоскости к горизонту;

• для свешивающегося тела —

${\overrightarrow{T}}_2+m_2\overrightarrow{g}=m_2{\overrightarrow{a}}_2$,

или в проекции на координатную ось Oy′:

$O{y}^{\prime }\text{: }-T_2+m_{2}g=m_2{a}_2$,

где m ₂ — масса свешивающегося тела; a ₂ — модуль ускорения свешивающегося тела; T ₂ — модуль силы натяжения нити, действующей на свешивающееся тело.

С учетом

• выражения для силы трения

F _тр = µN;

• условия невесомости нити

T ₁ = T ₂ = T;

• условия нерастяжимости нити

a ₁ = a ₂ = a

составим полную систему уравнений:

$\begin{array}{l}-\mu N+T-m_{1}g\sin \alpha =m_{1}a,\\ N-m_{1}g\cos \alpha =\mathrm{0,}\\ -T+m_{2}g=m_{2}a.\end{array}\}$

Из второго уравнения системы следует, что модуль силы нормальной реакции опоры, действующей на тело со стороны наклонной плоскости, определяется формулой

N = m ₁g cos α.

Подстановка полученного выражения в первое уравнение системы приводит ее к следующему виду:

$\begin{array}{l}-\mu m_{1}g\cos \alpha +T-m_{1}g\sin \alpha =m_{1}a,\\ -T+m_{2}g=m_{2}a.\end{array}\}$

Система содержит два неизвестных: a и T. Величина силы натяжения нити T является искомой.

Деление уравнений

$\frac{-\mu m_{1}g\cos \alpha +T-m_{1}g\sin \alpha }{-T+m_{2}g}=\frac{m_1}{m_2}$

и последующие преобразования данного отношения позволяют получить формулу для вычисления величины силы натяжения нити:

$T=\frac{m_1{m}_{2}g(1+\mu \cos \alpha +\sin \alpha )}{m_1+m_2}$.

Произведем расчет:

$T=\frac{\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{6,0}\cdot 10\left(1+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}\sqrt{2}+\mathrm{0,5}\sqrt{2}\right)}{\mathrm{1,5}+\mathrm{6,0}}\approx 25$ Н.

Пример 31. К грузу массой 12 кг прикреплен груз массой 3,0 кг. Крепление произведено при помощи однородной веревки массой 6,0 кг. Определить модуль силы натяжения веревки в точке, расположенной на расстоянии 1/3 ее длины от первого груза, если систему поднимают вверх с ускорением 2,0 м/с².

Решение. Для решения задачи целесообразно использовать следующую модель (рисунок иллюстрирует ее применение):

1) веревка заменяется на невесомую;

2) одна треть массы веревки m ₀ прибавляется к массе первого груза m ₁:

$M_1=m_1+\frac{1}{3}{m}_0$;

3) две трети массы веревки m ₀ прибавляются к массе второго груза m ₂:

$M_2=m_2+\frac{2}{3}{m}_0$.

Далее решение задачи является традиционным.

На рисунке изображены тела массами M ₁ и M ₂, связанные невесомой нерастяжимой нитью.

Запишем второй закон Ньютона:

• для первого тела —

$\overrightarrow{F}+M_1\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{T}}_1=M_1{\overrightarrow{a}}_1$,

или в проекции на координатную ось Oy

$F-T_1-M_{1}g=M_1{a}_1$,

где $M_1=m_1+\frac{1}{3}{m}_0$ — суммарная масса первого тела и одной трети веревки; a ₁ — модуль ускорения тела массой M ₁; g — модуль ускорения свободного падения; F — модуль силы, приложенной к первому телу; T ₁ — модуль силы натяжения нити, действующей на тело массой M ₁;

• для второго тела —

${\overrightarrow{T}}_2+M_2\overrightarrow{g}=M_2{\overrightarrow{a}}_2$,

или в проекции на координатную ось Oy

T ₂ − M ₂g = M ₂a ₂,

где $M_2=m_2+\frac{2}{3}{m}_0$ — суммарная масса второго тела и двух третей веревки; a ₂ — модуль ускорения тела массой M ₂; T ₂ — модуль силы натяжения нити, действующей на тело массой M ₂.

С учетом

• условия невесомости нити

T ₁ = T ₂ = T;

• условия нерастяжимости нити

a ₁ = a ₂ = a

составим полную систему уравнений:

$\begin{array}{l}F-T-M_{1}g=M_{1}a,\\ T-M_{2}g=M_{2}a.\end{array}\}$

Второе уравнение позволяет найти величину искомой силы натяжения нити:

$T=M_2(g+a)=\left(m_2+\frac{2}{3}{m}_0\right)(g+a)=$

$=\left(\mathrm{3,0}+\frac{2}{3}\cdot \mathrm{6,0}\right)(10+\mathrm{2,0})=84$ Н.

Пример 32. На горизонтальной поверхности лежат вплотную два одинаковых кубика массой по 200 г. К первому кубику приложена горизонтальная сила 10,0 Н, действующая в направлении второго кубика. Коэффициент трения между первым кубиком и поверхностью равен 0,2, между вторым и поверхностью — 0,3. Определить модуль результирующей силы, действующей на второй кубик.

Решение. Рассмотрим взаимодействующие кубики, используя модель связанных тел. На рисунке показаны связанные (взаимодействующие) кубики.

Первый кубик действует на второй с силой ${\overrightarrow{F}}_{21}$, а второй на первый — с силой ${\overrightarrow{F}}_{12}$. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы равны между собой по величине и противоположны по направлению:

${\overrightarrow{F}}_{12}=-{\overrightarrow{F}}_{21}$.

Запишем второй закон Ньютона:

• для первого кубика —

${\overrightarrow{F}}_{\text{тр}1}+{\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{N}}_1+\overrightarrow{F}+m_1\overrightarrow{g}=m_1{\overrightarrow{a}}_1$,

или в проекциях на координатные оси

$\begin{array}{l}Ox\text{: }F-F_{12}-F_{\text{тр}1}=m_1{a}_1,\\ Oy\text{: }{N}_1-m_{1}g=\mathrm{0,}\end{array}\}$

где m ₁ — масса первого кубика; a ₁ — модуль ускорения первого кубика; g — модуль ускорения свободного падения; N ₁ — модуль силы нормальной реакции опоры, действующей на первый кубик; F _тр1 — модуль силы трения, действующей на первый кубик; F — модуль силы, приложенной к первому кубику; F ₁₂ — модуль силы, действующей на первый кубик со стороны второго;

• для второго кубика —

${\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{N}}_2+m_2\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_{\text{тр}2}=m_2{\overrightarrow{a}}_2$,

или в проекциях на координатные оси

$\begin{array}{l}Ox\text{: }{F}_{21}-F_{\text{тр}2}=m_2{a}_2, \\ Oy\text{: }{N}_2-m_{2}g=\mathrm{0,}\end{array}\}$

где m ₂ — масса второго кубика; a ₂ — модуль ускорения второго кубика; N ₂ — модуль силы нормальной реакции опоры, действующей на второй кубик; F _тр2 — модуль силы трения, действующей на второй кубик; F ₂₁ — модуль силы, действующей на второй кубик со стороны первого.

Левая часть уравнения, выражающего второй закон Ньютона, представляет собой искомую результирующую силу, действующую на второй кубик:

${\overrightarrow{F}}_{\text{рез}}={\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{N}}_2+m_2\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_{\text{тр}2}$.

Следовательно, искомой величиной может считаться произведение

${\overrightarrow{F}}_{\text{рез}}=m_2{\overrightarrow{a}}_2$,

представляющее собой правую часть указаного уравнения.

С учетом

• выражений для сил трения

F _тр1 = µ₁N ₁,

F _тр2 = µ₂N ₂;

• равенства модулей сил взаимодействия

F _вз = F ₁₂ = F ₂₁;

• равенства модулей ускорений взаимодействующих тел

a ₁ = a ₂ = a;

• равенства масс кубиков

m ₁ = m ₂ = m

составим полную систему уравнений:

$\begin{array}{l}F-F_{\text{вз}}-{\mu }_1{N}_1=ma,\\ N_1-mg=\mathrm{0,}\\ F_{\text{вз}}-{\mu }_2{N}_2=ma,\\ N_2-mg=\mathrm{0,}\end{array}\}$

где µ₁ — коэффициент трения между первым кубиком и плоскостью; µ₂ — коэффициент трения между вторым кубиком и плоскостью.

Из второго и четвертого уравнений системы выразим силы нормальной реакции опоры, действующие на первый и второй кубики:

N ₁ = mg,

N ₂ = mg.

Полученные выражения подставим в первое и третье урав­нения:

$\begin{array}{l}F-F_{\text{вз}}-{\mu }_{1}mg=ma,\\ F_{\text{вз}}-{\mu }_{2}mg=ma.\end{array}\}$

Система содержит два неизвестных: a и F _вз. Для нахождения результирующей силы, действующей на второй кубик, целесообразно найти модуль ускорения a.

Суммирование уравнений

$F-{\mu }_{1}mg-{\mu }_{2}mg=2ma$

и последующие преобразования позволяют получить формулы для вычисления величины ускорения:

$a=\frac{F-mg({\mu }_1+{\mu }_2)}{2m}$

и для модуля результирующей силы, действующей на второй кубик:

$F_{\text{рез}}=ma=\frac{F-mg({\mu }_1+{\mu }_2)}{2}$.

Выполним вычисление:

$F_{\text{рез}}=\frac{10-\mathrm{0,2}\cdot 10\cdot (\mathrm{0,2}+\mathrm{0,3})}{2}=\mathrm{4,5}$ Н.

Решение данной задачи можно существенно упростить, если записать второй закон Ньютона для системы, состоящей из двух кубиков, и рассмотреть ее движение как целого. Однако при таком решении силы взаимодействия между телами остаются вне поля зрения.

Пример 33. Два бруска одинаковой массы по 0,4 кг поставили на наклонную плоскость с углом наклона 60° так, чтобы они соприкасались друг с другом. Коэффициент трения верхнего бруска о плоскость равен 0,2, нижнего — 0,8. Определить силу взаимодействия брусков.

Решение. Рассмотрим взаимодействующие бруски, используя модель связанных тел. На рисунке показаны связанные (взаимодействующие) бруски.

Верхний брусок действует на нижний с силой ${\overrightarrow{F}}_{21}$, а нижний на верхний — с силой ${\overrightarrow{F}}_{12}$. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы равны между собой по величине и противоположны по направлению:

${\overrightarrow{F}}_{12}=-{\overrightarrow{F}}_{21}$.

Запишем второй закон Ньютона:

• для верхнего бруска —

${\overrightarrow{F}}_{\text{тр}1}+{\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{N}}_1+m_1\overrightarrow{g}=m_1{\overrightarrow{a}}_1$,

или в проекциях на координатные оси

$\begin{array}{l}Ox\text{: }{m}_{1}g\sin \alpha -F_{12}-F_{\text{тр}1}=m_1{a}_1,\\ Oy\text{: }{N}_1-m_{1}g\cos \alpha =\mathrm{0,}\end{array}\}$

где m ₁ — масса верхнего бруска; a ₁ — модуль ускорения верхнего бруска; g — модуль ускорения свободного падения; N ₁ — модуль силы нормальной реакции наклонной плоскости, действующей на верхний брусок; F _тр1 — модуль силы трения, действующей на верхний брусок; F ₁₂ — модуль силы, действующей на верхний брусок со стороны нижнего; α — угол наклона плоскости к горизонту;

• для нижнего бруска —

${\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{N}}_2+m_2\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_{\text{тр}2}=m_2{\overrightarrow{a}}_2$,

или в проекциях на координатные оси

$\begin{array}{l}Ox\text{: }{F}_{21}+m_{2}g\sin \alpha -F_{\text{тр}2}=m_2{a}_2,\\ Oy\text{: }{N}_2-m_{2}g\cos \alpha =\mathrm{0,}\end{array}\}$

где m ₂ — масса нижнего бруска; a ₂ — модуль ускорения нижнего бруска; N ₂ — модуль силы нормальной реакции наклонной плоскости, действующей на нижний брусок; F _тр2 — модуль силы трения, действующей на нижний брусок; F ₂₁ — модуль силы, действующей на нижний брусок со стороны верхнего.

С учетом

• выражений для сил трения

F _тр1 = µ₁N ₁,

F _тр2 = µ₂N ₂;

• равенства модулей сил взаимодействия

F _вз = F ₁₂ = F ₂₁;

• равенства модулей ускорений взаимодействующих тел

a ₁ = a ₂ = a;

• равенства масс брусков

m ₁ = m ₂ = m

составим полную систему уравнений:

$\begin{array}{l} mg\sin \alpha -F_{\text{вз}}-{\mu }_1{N}_1=ma,\\ N_1-mg\cos \alpha =\mathrm{0,}\\ F_{\text{вз}}+mg\sin \alpha -{\mu }_2{N}_2=ma,\\ N_2-mg\cos \alpha =\mathrm{0,}\end{array}\}$

где µ₁ — коэффициент трения между верхним бруском и наклонной плоскостью; µ₂ — коэффициент трения между нижним бруском и наклонной плоскостью.

Из второго и четвертого уравнений системы выразим силы реакции наклонной плоскости, действующие на верхний и нижний бруски:

N ₁ = mg cos α,

N ₂ = mg cos α.

Полученные выражения подставим в первое и третье урав­нения:

$\begin{array}{l}mg\sin \alpha -F_{\text{вз}}-{\mu }_{1}mg\cos \alpha =ma,\\ F_{\text{вз}}+mg\sin \alpha -{\mu }_{2}mg\cos \alpha =ma.\end{array}\}$

Система содержит два неизвестных: a и F _вз. Величина силы взаимодействия между брусками F _вз является искомой.

Равенство правых частей уравнений системы позволяет записать равенство их левых частей:

$mg\sin \alpha -F_{\text{вз}}-{\mu }_{1}mg\cos \alpha =F_{\text{вз}}+mg\sin \alpha -{\mu }_{2}mg\cos \alpha$.

Преобразования данного выражения позволяют получить формулу для вычисления величины силы взаимодействия между брусками:

$F_{\text{вз}}=\frac{1}{2}mg\cos \alpha ({\mu }_2-{\mu }_1)$.

Произведем расчет:

$T=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,4}\cdot 10\cdot \mathrm{0,5}\cdot (\mathrm{0,8}-\mathrm{0,2})=\mathrm{0,6}$ Н.