Физика

Пример 8. Тело массой 1,5 кг лежит на дне сосуда с водой, причем 1/4 его объема остается над водой. Вычислить силу давления тела на дно сосуда, если плотность тела в 1,25 раза больше плотности воды. Считать, что вода подтекает под тело.

Решение. Для вычисления силы давления на дно сосуда воспользуемся формулой, позволяющей рассчитать вес тела, частично погруженного в жидкость:

$P=mg-{\rho }_{0}g{V}^{\prime }$,

где $V^{\prime }=\frac{3}{4}{V}_{\text{т}}$ — объем погруженной части тела; $V_{\text{т}}=\frac{m}{{\rho }_{\text{т}}}$ — объем тела; ρ₀ — плотность жидкости; m — масса тела; ρ_т — плотность тела; g — модуль ускорения свободного падения.

Запишем в явном виде формулу для расчета веса:

$P=mg-{\rho }_{0}g\frac{3}{4}\frac{m}{{\rho }_{\text{т}}}=mg\left(1-\frac{3}{4}\frac{{\rho }_0}{{\rho }_{\text{т}}}\right)$

и произведем вычисления:

$P=\mathrm{1,5}\cdot 10\left(1-\mathrm{0,75}\frac{{\rho }_0}{\mathrm{1,25}{\rho }_0}\right)=\mathrm{6,0}$ Н.

Пример 9. Найти силу давления пассажира на кресло гоночного автомобиля, движущегося по горизонтальному шоссе с ускорением 8,0 м/с². Массу пассажира принять равной 75 кг.

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления веса тела, оказывающего давление как на горизонтальную (mg), так и на вертикальную (ma) части опоры:

$P=\sqrt{{\left(mg\right)}^2+{\left(ma\right)}^2}=m\sqrt{g^2+a^2}$,

где m — масса пассажира; a — величина ускорения автомобиля; g — модуль ускорения свободного падения.

Произведем вычисления:

$P=75\sqrt{{10}^2+{\left(\mathrm{8,0}\right)}^2}\approx \mathrm{0,96}$ кН.

Пример 10. Во сколько раз вес пассажира гоночного автомобиля, движущегося с постоянной скоростью 25 м/с по выпуклому мосту радиусом 75 м, меньше его веса на участке траектории, имеющем вогнутую форму? Сравнить вес для самой высокой и самой низкой точек траектории.

Решение. Запишем формулы для вычисления веса пассажира:

• в самой высокой точке выпуклой траектории

$P_1=m\left(g-\frac{v^2}{R}\right)=\frac{m(gR-v^2)}{R}$,

• в самой низкой точке вогнутой траектории

$P_2=m\left(g+\frac{v^2}{R}\right)=\frac{m(gR+v^2)}{R}$,

где m — масса пассажира; v — величина скорости автомобиля; g — модуль ускорения свободного падения; R — радиус кривизны траектории.

Вес пассажира при движении автомобиля по вогнутой траектории превышает вес пассажира при движении по выпуклой траектории. Найдем отношение:

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{m(gR+v^2)}{R}\frac{R}{m(gR-v^2)}=\frac{gR+v^2}{gR-v^2}$.

Расчет дает значение:

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{10\cdot 75+{25}^2}{10\cdot 75-{25}^2}=11$.

Таким образом, вес пассажира гоночного автомобиля в самой низкой точке траектории больше его веса в самой высокой точке траектории в 11 раз.

Пример 11. Во сколько раз будут отличаться показания пружинных весов, находящихся в кабине лифта при его движении с ускорением, направленным вверх, и с ускорением, направленным вниз? Величина ускорения равна 2,5 м/с².

Решение. Вес тела, подвешенного к пружинным весам, находящимся в лифте, определяется формулами:

• при ускорении лифта, направленном вверх,

P₁ = m(g + a),

• при ускорении лифта, направленном вниз,

P₂ = m(g − a),

где m — масса тела; a — величина ускорения лифта; g — модуль ускорения свободного падения.

Вес тела при движении лифта с ускорением, направленным вверх, превышает вес тела при движении лифта с ускорением, направленным вниз. Найдем отношение веса тела в первом случае к весу тела во втором случае

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{m(g+a)}{m(g-a)}=\frac{g+a}{g-a}$.

Расчет дает значение:

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{10+\mathrm{2,5}}{10-\mathrm{2,5}}=\mathrm{1,7}$.

Таким образом, вес тела при движении лифта с ускорением, направленным вверх, больше его веса при движении лифта с ускорением, направленным вниз, приблизительно в 1,7 раза.

Пример 12. Некоторое тело, подвешенное к пружинным весам, полностью погружено в жидкость, плотность которой в 2,5 раза меньше плотности тела, и находится в лифте. Показания пружинных весов различаются в зависимости от направления ускорения лифта. Найти отношение максимального показания весов к их минимальному показанию при значении ускорения 2,5 м/с².

Решение. Вес тела, погруженного в жидкость и подвешенного к пружинным весам, находящимся в лифте, определяется формулами:

• при ускорении лифта, направленном вверх, —

P₁ = m(g + a) − ρ₀gV,

• при ускорении лифта, направленном вниз, —

P₂ = m(g − a) − ρ₀gV,

где m — масса тела; a — величина ускорения лифта; g — модуль ускорения свободного падения; V = m/ρ_т — объем тела; ρ₀ — плотность жидкости; ρ_т — плотность тела.

Вес тела при движении лифта с ускорением, направленным вверх, превышает вес тела при движении лифта с ускорением, направленным вниз. Отношение веса тела в первом случае к весу тела во втором случае определяется формулой

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{m(g+a)-{\rho }_{0}gV}{m(g-a)-{\rho }_{0}gV}$.

Произведем преобразование записанной формулы, выполнив замену:

$V=\frac{m}{{\rho }_{\text{т}}}$,

т.е.

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{m(g+a)-{\rho }_{0}g\frac{m}{{\rho }_{\text{т}}}}{m(g-a)-{\rho }_{0}g\frac{m}{{\rho }_{\text{т}}}}=\frac{g\left(1-\frac{{\rho }_0}{{\rho }_{\text{т}}}\right)+a}{g\left(1-\frac{{\rho }_0}{{\rho }_{\text{т}}}\right)-a}$.

Подстановка данных дает значение искомого отношения:

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{10\left(1-\frac{{\rho }_0}{\mathrm{2,5}{\rho }_0}\right)+\mathrm{2,5}}{10\left(1-\frac{{\rho }_0}{\mathrm{2,5}{\rho }_0}\right)-\mathrm{2,5}}=\mathrm{2,4}$.

Таким образом, вес тела при движении лифта с ускорением, направленным вверх, больше его веса при движении лифта с ускорением, направленным вниз, в 2,4 раза.