Предметы

Физика

Динамика

2.2. Силы

2.2.2. Движение под действием силы тяжести (спутники)

Теория Тренинг

Физика

Общий тест

2.2. Силы

2.2.2. Движение под действием силы тяжести (спутники)

При движении спутников (с выключенным двигателем) по круговой орбите на них действует только одна сила — сила притяжения спутника к планете.

На спутник, имеющий массу m и движущийся по круговой орбите на высоте h над поверхностью планеты (рис. 2.2), действует только сила тяжести.

Рис. 2.2

Эта сила направлена к центру планеты и сообщает спутнику центростремительное ускорение. В этом случае справедливо соотношение

$\frac{G m M}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$ ,

позволяющее получить формулу для расчета первой космической скорости спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ ,

где G = 6,67 ⋅ 10⁻¹¹ Н ⋅ м²/кг² — универсальная гравитационная постоянная; m — масса тела; r = R + h — радиус орбиты; R — радиус планеты; h — высота спутника над поверхностью планеты.

Различают первую, вторую и третью космические скорости. Для планеты Земля:

первая космическая скорость — минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может выйти на круговую орбиту и начать вращение вокруг Земли на околоземной орбите (h ≈ 0),

v₁ ≈ 7,9 км/с;

вторая космическая скорость — минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может удалиться от Земли на большое расстояние и стать спутником Солнца,

v₂ ≈ 11,2 км/с;

третья космическая скорость — минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может покинуть Солнечную систему; ее значение приблизительно равно 16,6 км/с.

Когда говорят о первой космической скорости для планеты, то подразумевают, что спутник движется на высоте h ≈ 0, т.е. радиус орбиты спутника r совпадает с радиусом планеты R:

r = R.

Период обращения спутника вокруг планеты (время одного оборота) можно определить как отношение длины орбиты к первой космической скорости:

$T = \frac{L}{v}$ ,

где L = 2πr — длина орбиты радиусом r (длина окружности); v — первая космическая скорость спутника на этой орбите.

Пример 5. Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте, равной удвоенному радиусу Земли, превышает период обращения спутника, вращающегося на околоземной орбите?

Решение. Период обращения спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте h₁ = 2R, определяется формулой

$T_{1} = \frac{2 π (R + h_{1})}{v_{1}}$ ,

где R — радиус Земли; v₁ — первая космическая скорость спутника на высоте h₁.

Период обращения спутника, совершающего движение на околоземной орбите (h₂ ≈ 0), определяется формулой

$T_{2} = \frac{2 π (R + h_{2})}{v_{2}}$ ,

где v₂ — первая космическая скорость спутника на околоземной орбите.

Подстановка значений h₁ = 2R и h₂ = 0в формулы для вычисления соответствующих периодов дает:

$T_{1} = \frac{6 π R}{v_{1}}$ и $T_{2} = \frac{2 π R}{v_{2}}$ .

Отношение периодов

$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{3 v_{2}}{v_{1}}$

выражается через отношение первых космических скоростей спутника на соответствующих орбитах.

Первые космические скорости определяются следующими формулами:

для высоты h₁ = 2R

$v_{1} = \sqrt{\frac{G M}{R + h_{1}}} = \sqrt{\frac{G M}{R + 2 R}} = \sqrt{\frac{G M}{3 R}}$ ;

для высоты h₂ ≈ 0 (околоземная орбита)

$v_{2} = \sqrt{\frac{G M}{R + h_{2}}} = \sqrt{\frac{G M}{R + 0}} = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ ,

где G = 6,67 ⋅ 10⁻¹¹ Н · м²/кг² — универсальная гравитационная постоянная; M — масса Земли.

Подставляя v₁ и v₂ в формулу для отношения периодов, получим

$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{3 v_{2}}{v_{1}} = 3 \sqrt{\frac{G M}{R}} \cdot \sqrt{\frac{3 R}{G M}} = 3 \sqrt{3} \approx 5,2$ .

т.е. период обращения спутника, совершающего движение на высоте, равной двум радиусам, превышает период обращения спутника на околоземной орбите приблизительно в 5,2 раза.

Пример 6. Радиус некоторой планеты в 3 раза больше радиуса Земли, а плотность в 9 раз меньше плотности Земли. Определить отношение первых космических скоростей спутников для Земли и для планеты.

Решение. Сравниваются следующие первые космические скорости:

для поверхности Земли

$v_{1} = \sqrt{\frac{G M_{З}}{R_{З}}}$ ,

для поверхности планеты

$v_{2} = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ ,

где G = 6,67 ⋅ 10⁻¹¹ Н · м²/кг² — универсальная гравитационная постоянная; M_З — масса Земли; R_З — радиус Земли; M — масса планеты; R — радиус планеты.

Отношение скоростей равно

$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{M_{З}}{R_{З}} \frac{R}{M}}$ .

Считая, что Земля и планета имеют шарообразную форму, получим формулы для вычисления соответствующих масс:

для Земли

$M_{З} = ρ_{З} V_{З} = \frac{4}{3} π ρ_{З} R_{З}^{3}$ ,

для планеты

$M = ρ V = \frac{4}{3} π ρ R^{3}$ ,

где ρ_З — плотность Земли; ρ — плотность планеты.

Подставим выражения для масс в формулу для отношения скоростей:

$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{4}{3} \frac{π ρ_{З} R_{З}^{3}}{R_{З}} \frac{3}{4} \frac{R}{π ρ R^{3}}} = \sqrt{\frac{ρ_{З} R_{З}^{2}}{ρ R^{2}}} = \frac{R_{З}}{R} \sqrt{\frac{ρ_{З}}{ρ}}$ .

По условию задачи R = 3R_З и ρ_З = 9ρ; следовательно, искомое отношение скоростей равно

$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{R_{З}}{3 R_{З}} \sqrt{\frac{9 ρ}{ρ}} = 1$ ,

т.е. скорости спутника одинаковы для поверхности Земли и для поверхности планеты.

Пример 7. Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиусом 20 000 км вращается спутник со скоростью 12 км/с. Определить величину ускорения свободного падения на поверхности планеты, если ее радиус равен 12 000 км.

Решение. Ускорение свободного падения на поверхности планеты найдем по формуле

$g_{0} = \frac{G M}{R^{2}}$ ,

где G = 6,67 ⋅ 10⁻¹¹ Н · м²/кг² — универсальная гравитационная постоянная; M — масса планеты; R — радиус планеты.

Радиус планеты задан в условии задачи, произведение (GM) можно выразить из формулы для первой космической скорости:

$v = \sqrt{\frac{G M}{R + h}} = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ ,

где r — радиус орбиты спутника; отсюда искомое произведение

GM = v²r.

Подставим (GM) в выражение для вычисления g₀:

$g_{0} = \frac{v^{2} r}{R^{2}}$ .

Расчет позволяет получить значение ускорения свободного падения на поверхности планеты:

$g_{0} = \frac{{(12 \cdot 10^{3})}^{2} \cdot 2, 0 \cdot 10^{7}}{{(12 \cdot 10^{6})}^{2}} = 20$ м/с².