Физика

Пример 23. Из бака с водой насосом откачивают воду. Мощность насоса равна 40,0 кВт, а КПД установки составляет 12,5 %. С какой скоростью вытекает вода плотностью 1000 кг/м³ из гладкого шланга сечением 100 см? Наконечник шланга находится на одном уровне с водой.

Решение. Коэффициент полезного действия насоса определяется формулой

$\eta =\frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{сов}}}\cdot 100\text{ \%}$,

где A_сов = Nt — работа, совершенная насосом; N — мощность насоса; t — время; A_пол = W_k — полезная работа, равная кинетической энергии воды.

Кинетическая энергия воды определяется по формуле

$W_k=\frac{m{v}^2}{2}$,

где m — масса воды; v — модуль скорости воды.

Для получения формулы, пригодной для вычисления полезной работы A_пол, совершаемой насосом, рассчитаем массу m некоторого объема воды V, который протекает по шлангу за время t.

Указанная масса определяется произведением:

m = ρV,

где ρ — плотность воды; V = lS — объем воды, протекающей по шлангу за определенное время; S — площадь поперечного сечения шланга; l = vt — расстояние, на которое перемещается указанный объем воды за время t; v — модуль скорости потока воды.

Указанные характеристики показаны на рисунке.

Таким образом, полезная работа, совершенная насосом, определяется формулой

$A_{\text{пол}}=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{\rho S{v}^{3}t}{2}$.

Подстановка выражений для полезной и совершенной работы в формулу, определяющую КПД насоса, дает:

$\eta =\frac{\rho S{v}^{3}t}{2Nt}\cdot 100\text{ \%}=\frac{\rho S{v}^3}{2N}\cdot 100\text{ \%}$.

Выразим отсюда скорость и рассчитаем ее значение:

$v=\sqrt[3]{\frac{2N\eta }{100\rho S}}=\sqrt[3]{\frac{2\cdot \mathrm{40,0}\cdot {10}^3\cdot \mathrm{12,5}}{100\cdot \mathrm{1,0}\cdot {10}^3\cdot 100\cdot {10}^{-4}}}=\sqrt[3]{1000}=10$ м/с.