Предметы

Физика

Законы сохранения

3.2. Импульс

3.2.2. Изменение импульса тела

Теория Тренинг

Физика

Общий тест

3.2. Импульс

3.2.2. Изменение импульса тела

Для применения законов изменения и сохранения импульса необходимо уметь рассчитывать изменение импульса.

Изменение импульса $Δ \vec{P}$ тела определяется формулой

$Δ \vec{P} = {\vec{P}}_{2} - {\vec{P}}_{1}$ ,

где ${\vec{P}}_{1} = m {\vec{v}}_{1}$ — начальный импульс тела; ${\vec{P}}_{2} = m {\vec{v}}_{2}$ — его конечный импульс; m — масса тела; ${\vec{v}}_{1}$ — начальная скорость тела; ${\vec{v}}_{2}$ — его конечная скорость.

Для вычисления изменения импульса тела целесообразно применять следующий алгоритм:

1) выбрать систему координат и найти проекции начального ${\vec{P}}_{1}$ и конечного ${\vec{P}}_{2}$ импульсов тела на координатные оси:

P₁_x, P₂_x;

P₁_y, P₂_y;

2) рассчитать проекции изменения импульса $Δ \vec{P}$ по формулам

∆P_x = P₂_x − P₁_x;

∆P_y = P₂_y − P₁_y;

3) вычислить модуль вектора изменения импульса $Δ \vec{P}$ как

$Δ P = \sqrt{Δ P_{x}^{2} + Δ P_{y}^{2}}$ .

Пример 4. Тело падает под углом 30° к вертикали на горизонтальную плоскость. Определить модуль изменения импульса тела за время удара, если к моменту соприкосновения с плоскостью модуль импульса тела равен 15 кг · м/с. Удар тела о плоскость считать абсолютно упругим.

Решение. Тело, падающее на горизонтальную поверхность под некоторым углом α к вертикали и соударяющееся с данной поверхностью абсолютно упруго,

во-первых, сохраняет неизменным модуль своей скорости, а значит, и величину импульса:

P₁ = P₂ = P;

во-вторых, отражается от поверхности под тем же углом, под каким падает на нее:

α₁ = α₂ = α,

где P₁ = mv₁ — модуль импульса тела до удара; P₂ = mv₂ — модуль импульса тела после удара; m — масса тела; v₁ — величина скорости тела до удара; v₂ — величина скорости тела после удара; α₁ — угол падения; α₂ — угол отражения.

Указанные импульсы тела, углы и система координат показаны на рисунке.

Для расчета модуля изменения импульса тела воспользуемся алгоритмом:

1) запишем проекции импульсов до удара и после удара тела о поверхность на координатные оси:

P₁_x = mv sin α, P₂_x = mv sin α;

P₁_y = −mv cos α, P₂_y = mv cos α;

2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам

$Δ P_{x} = P_{2 x} - P_{1 x} = m v \sin α - m v \sin α = 0$ ;

$Δ P_{y} = P_{2 y} - P_{1 y} = m v \cos α - (- m v \cos α) = 2 m v \cos α$ ;

3) вычислим модуль изменения импульса как

$Δ P = \sqrt{{(Δ P_{x})}^{2} + {(Δ P_{y})}^{2}} = \sqrt{{(Δ P_{y})}^{2}} = | Δ P_{y} | = 2 m v \cos α$ .

Величина P = mv задана в условии задачи; следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле

$Δ P = 2 P \cos 30 ° = 2 \cdot 15 \cdot 0,5 \sqrt{3} \approx 26$ кг ⋅ м/с.

Пример 5. Камень массой 50 г брошен под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Найти модуль изменения импульса камня за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Если сопротивление воздуха отсутствует, то тело движется по симметричной параболе; при этом

во-первых, вектор скорости в точке падения тела составляет с горизонтом угол β, равный углу α (α — угол между вектором скорости тела в точке бросания и горизонтом):

α = β = 45°;

во-вторых, модули скоростей в точке бросания v₀ и в точке падения тела v также одинаковы:

v₀ = v,

где v₀ — величина скорости тела в точке бросания; v — величина скорости тела в точке падения; α — угол, который составляет вектор скорости с горизонтом в точке бросания тела; β — угол, который составляет с горизонтом вектор скорости в точке падения тела.

Векторы скорости тела (векторы импульса) и углы показаны на рисунке.

Для расчета модуля изменения импульса тела во время полета воспользуемся алгоритмом:

1) запишем проекции импульсов для точки бросания и для точки падения на координатные оси:

P₁_x = mv₀ cos α, P₂_x = mv₀ cos α;

P₁_y = mv₀ sin α, P₂_y = −mv₀ sin α;

2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам

$Δ P_{x} = P_{2 x} - P_{1 x} = m v_{0} \cos α - m v_{0} \cos α = 0$ ;

$Δ P_{y} = P_{2 y} - P_{1 y} = - m v_{0} \sin α - m v_{0} \sin α = - 2 m v_{0} \sin α$ ;

3) вычислим модуль изменения импульса как

$Δ P = \sqrt{{(Δ P_{x})}^{2} + {(Δ P_{y})}^{2}} = \sqrt{{(Δ P_{y})}^{2}} = | Δ P_{y} | = 2 m v_{0} \sin α$ ,

где m — масса тела; v₀ — модуль начальной скорости тела.

Следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле

$Δ P = 2 m v_{0} \sin 45 ° = 2 \cdot 50 \cdot 10^{- 3} \cdot 20 \cdot 0,5 \sqrt{2} \approx 1,4$ кг ⋅ м/с.

The request was aborted: Could not create SSL/TLS secure channel.