Предметы

Физика

Законы сохранения

3.2. Импульс

3.2.3. Импульс силы. Закон изменения импульса тела

Теория Тренинг

Физика

Общий тест

3.2. Импульс

3.2.3. Импульс силы. Закон изменения импульса тела

Импульс силы $\vec{I}$ — это произведение силы $\vec{F}$ , действующей на тело (или равнодействующей нескольких сил), на время ее действия ∆t:

$\vec{I} = \vec{F} Δ t$ .

Направление импульса силы совпадает с направлением действия силы. В Международной системе единиц импульс силы измеряется в ньютонах, умноженных на секунду (1 Н ⋅ с).

Импульс силы и изменение импульса тела связаны между собой законом изменения импульса:

$Δ \vec{P} = \vec{I}$ ,

где $Δ \vec{P} = {\vec{P}}_{2} - {\vec{P}}_{1}$ — изменение импульса тела вследствие действия на тело импульса силы ( ${\vec{P}}_{1} = m {\vec{v}}_{1}$ — начальный импульс тела; ${\vec{P}}_{2} = m {\vec{v}}_{2}$ — его конечный импульс; m — масса тела; ${\vec{v}}_{1}$ — начальная скорость тела; ${\vec{v}}_{2}$ — его конечная скорость); $\vec{I} = \vec{F} Δ t$ — импульс силы $\vec{F}$ , действующей на тело (или равнодействующей нескольких сил) в течение времени ∆t.

Пример 6. Вверх по наклонной плоскости с углом наклона 45° скользит без трения тело. Модуль импульса меняется от 1,0 кг ⋅ м/с до нуля. Найти модуль равнодействующей всех сил, действующих на тело, если оно проходит по инерции путь 3,5 м.

Решение. Вычисление модуля результирующей силы по формуле

${\vec{F}}_{рез} = m \vec{g} + \vec{N}$

затруднено отсутствием в условии значения массы тела. Силы тяжести $m \vec{g}$ и нормальной реакции наклонной плоскости $\vec{N}$ показаны на рисунке.

Для решения задачи воспользуемся законом изменения импульса, записанным в скалярном виде:

∆P = F_рез∆t,

где F_рез — модуль результирующей силы; ∆P — модуль изменения импульса тела за время ∆t.

Искомой величиной является F_рез, определяемая отношением

$F_{рез} = \frac{Δ P}{Δ t}$ .

Модуль изменения импульса тела определяется модулем разности

$Δ P = | P_{2} - P_{1} | = | 0 - m v_{0} | = m v_{0} = P_{0}$ ,

где P₁ = mv₀ = P₀ — модуль импульса тела в начале пути; P₂ = 0 — модуль импульса тела в конце пути.

Найдем промежуток времени ∆t, за который происходит указанное изменение импульса. Тело движется равнозамедленно; искомое время представляет собой точку остановки и определяется по формуле

$Δ t = t_{ост} = \frac{v_{0}}{a}$ ,

где v₀ — модуль скорости тела в начале пути; a — модуль ускорения.

Ускорение тела найдем из второго закона Ньютона, записанного в проекции на ось Ox:

mg sin α = ma,

отсюда получим выражение для величины ускорения:

α = g sin α,

где g — модуль ускорения свободного падения.

Модуль начальной скорости тела определим из формулы пути при равнозамедленном движении:

$S = \frac{v_{0}^{2} - v^{2}}{2 a}$ ,

где v = 0 — скорость в конце пути.

С учетом выражения для ускорения получим

$S = \frac{v_{0}^{2}}{2 g \sin α}$ ;

отсюда следует, что модуль начальной скорости определяется как

$v_{0} = \sqrt{2 g S \sin α}$ .

Подстановка выражений для a и v₀ в уравнение для ∆t

$Δ t = \frac{\sqrt{2 g S \sin α}}{g \sin α} = \sqrt{\frac{2 S}{g \sin α}}$ ,

а затем — в формулу для расчета величины результирующей силы дает:

$F_{рез} = P_{0} \sqrt{\frac{g \sin 45 °}{2 S}}$ .

Произведем расчет:

$F_{рез} = 1,0 \cdot \sqrt{\frac{10 \cdot 0,5 \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 3,5}} \approx 1,0$ Н.

Пример 7. Тело массой 60 г движется с постоянной скоростью 10 м/с. Определить модуль импульса силы, приложенной на короткое время к телу, если в конце действия силы тело движется со скоростью 10 м/с под углом 120° к первоначальному направлению.

Решение. Пусть тело первоначально движется вдоль положительного направления оси Ox. Тогда вектор начального импульса тела ${\vec{P}}_{1}$ также направлен вдоль указанной оси. В конце действия силы тело имеет импульс ${\vec{P}}_{2}$ , направленный под углом 120° к оси Ox. Модули импульсов ${\vec{P}}_{1}$ и ${\vec{P}}_{2}$ одинаковы, так как величина скорости тела не изменяется:

P₁ = P₂ = mv,

где m — масса тела; v — модуль скорости тела.

Векторы импульсов тела и выбранная система координат показаны на рисунке.

Импульс силы $\vec{I}$ найдем с помощью закона изменения импульса:

$\vec{I} = Δ \vec{P}$ ,

а модуль изменения импульса тела рассчитаем по алгоритму:

1) запишем проекции импульсов тела на координатные оси до начала действия силы и после окончания ее действия:

P₁_x = P₁, P₂_x = −P₂ cos α;

P₁_y = 0, P₂_y = P₂ sin α;

2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам

$Δ P_{x} = P_{2 x} - P_{1 x} = - P_{2} \cos α - P_{1} = - m v (1 + \cos α)$ ;

$Δ P_{y} = P_{2 y} - P_{1 y} = P_{2} \sin α - 0 = m v \sin α$ ;

3) вычислим модуль изменения импульса как

$Δ P = \sqrt{{(Δ P_{x})}^{2} + {(Δ P_{y})}^{2}} = \sqrt{{(- m v (1 + \cos α))}^{2} + {(m v \sin α)}^{2}}$ ,

где α = (180° − 120°) = 60°.

Преобразование формулы к виду

$Δ P = m v \sqrt{2 (\cos 60 ° + 1)}$

позволяет вычислить искомое значение импульса силы:

$I = Δ P = 60 \cdot 10^{- 3} \cdot 10 \sqrt{2 (0,5 + 1)} \approx 1, 0$ Н ⋅ с.