Предметы

Физика

Законы сохранения

3.2. Импульс

3.2.1. Импульс тела, импульс системы тел

Теория Тренинг

Физика

Общий тест

3.2. Импульс

3.2.1. Импульс тела, импульс системы тел

Импульсом обладают только движущиеся тела.

Импульс тела вычисляется по формуле

$\vec{P} = m \vec{v}$ ,

где m — масса тела; $\vec{v}$ — скорость тела.

В Международной системе единиц импульс тела измеряется в килограммах, умноженных на метр, деленный на секунду (1 кг ⋅ м/с).

Импульс системы тел (рис. 3.1) есть векторная сумма импульсов тел, входящих в эту систему:

$\vec{P} = {\vec{P}}_{1} + {\vec{P}}_{2} + ... + {\vec{P}}_{N} =$

$= m_{1} {\vec{v}}_{1} + m_{2} {\vec{v}}_{2} + ... + m_{N} {\vec{v}}_{N}$ ,

где ${\vec{P}}_{1} = m_{1} {\vec{v}}_{1}$ — импульс первого тела (m₁ — масса первого тела; ${\vec{v}}_{1}$ — скорость первого тела); ${\vec{P}}_{2} = m_{2} {\vec{v}}_{2}$ — импульс второго тела (m₂ — масса второго тела; ${\vec{v}}_{2}$ — скорость второго тела) и т.п.

Рис. 3.1

Для вычисления импульса системы тел целесообразно применять следующий алгоритм:

1) выбрать систему координат и найти проекции импульсов каждого тела на координатные оси:

P₁_x, P₂_x, ..., P_Nx;

P₁_y, P₂_y, ..., P_Ny,

где P₁_x, ..., P_Nx; P₁_y, ..., P_Ny —проекции импульсов тел на координатные оси;

2) рассчитать проекции импульса системы тел на координатные оси суммированием соответствующих проекций импульсов каждого из тел:

P_x = P₁_x + P₂_x + ... + P_Nx;

P_y = P₁_y + P₂_y + ... + P_Ny;

3) вычислить модуль импульса системы по формуле

$P = \sqrt{P_{x}^{2} + P_{y}^{2}}$ .

Пример 1. На горизонтальной поверхности покоится тело. На него начинает действовать сила 30 Н, направленная параллельно поверхности. Рассчитать модуль импульса тела через 5,0 с после начала движения, если сила трения равна 10 Н.

Решение. Модуль импульса тела зависит от времени и определяется произведением

P(t) = mv,

где m — масса тела; v — модуль скорости тела в момент времени t₀ = 5,0 c.

При равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью (v₀ = 0) величина скорости тела зависит от времени по закону

v(t) = at,

где a — модуль ускорения; t — время.

Подстановка зависимости v(t) в формулу для определения модуля импульса дает выражение

P(t) = mat.

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению произведения ma.

Для этого запишем основной закон динамики (второй закон Ньютона) в виде:

$\vec{F} + {\vec{F}}_{тр} + \vec{N} + m \vec{g} = m \vec{a}$ ,

или в проекциях на координатные оси

$\begin{array}{l} O x : F - F_{тр} = m a; \\ O y : N - m g = 0, \end{array}}$

где F — модуль силы, приложенной к телу в горизонтальном направлении; F_тр — модуль силы трения; N — модуль силы нормальной реакции опоры; mg — модуль силы тяжести; g — модуль ускорения свободного падения.

Силы, действующие на тело, и координатные оси изображены на рисунке.

Из первого уравнения системы следует, что искомое произведение определяется разностью

ma = F − F_тр.

Следовательно, зависимость величины импульса тела от времени определяется выражением

P(t) = (F − F_тр)t,

а его значение в указанный момент времени t₀ = 5 c — выражением

$P (t) = (F - F_{тр}) t_{0} = (30 - 10) \cdot 5,0 = 100$ кг ⋅ м/с.

Пример 2. Тело движется в плоскости xOy по траектории вида x² + y² = 64 под действием центростремительной силы, величина которой равна 18 Н. Масса тела составляет 3,0 кг. Считая, что координаты x и y заданы в метрах, найти величину импульса тела.

Решение. Траектория движения тела представляет собой окружность радиусом 8,0 м. Согласно условию задачи на тело действует только одна сила, направленная к центру этой окружности.

Модуль указанной силы является постоянной величиной, поэтому тело обладает только нормальным (центростремительным) ускорением. Наличие постоянного центростремительного ускорения не влияет на величину скорости тела; следовательно, движение тела по окружности происходит с постоянной скоростью.

Рисунок иллюстрирует данное обстоятельство.

Величина центростремительной силы определяется формулой

$F_{ц . с} = \frac{m v^{2}}{R}$ ,

где m — масса тела; v — модуль скорости тела; R — радиус окружности, по которой движется тело.

Выразим отсюда модуль скорости тела:

$v = \sqrt{\frac{F_{ц . с} R}{m}}$

и подставим полученное выражение в формулу, определяющую величину импульса:

$P = m v = m \sqrt{\frac{F_{ц . с} R}{m}} = \sqrt{F_{ц . с} R m}$ .

Произведем вычисление:

$P = \sqrt{18 \cdot 8,0 \cdot 3,0} \approx 21$ кг ⋅ м/с.

Пример 3. Два тела движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. Масса первого тела равна 3,0 кг, а величина его скорости составляет 2,0 м/с. Масса второго тела — 2,0 кг, а величина его скорости — 3,0 м/с. Найти модуль импульса системы тел.

Решение. Тела, движущиеся во взаимно перпендикулярных направлениях, изобразим в системе координат, как показано на рисунке:

вектор скорости первого тела направим вдоль положительного направления оси Ox;
вектор скорости второго тела направим вдоль положительного направления оси Oy.

Для расчета модуля импульса системы тел воспользуемся алгоритмом:

1) запишем проекции импульсов первого ${\vec{P}}_{1}$ и второго ${\vec{P}}_{2}$ тел на координатные оси:

P₁_x = m₁v₁; P₂_x = 0;

P₁_y = 0, P₂_y = m₂v₂,

где m₁ — масса первого тела; v₁ — величина скорости первого тела; m₂ — масса второго тела; v₂ — величина скорости второго тела;

2) найдем проекции импульса системы на координатные оси, суммируя соответствующие проекции каждого из тел:

P_x = P₁_x + P₂_x = P₁_x = m₁v₁;

P_y = P₁_y + P₂_y = P₂_y = m₂v₂;

3) вычислим величину импульса системы тел по формуле

$P = \sqrt{P_{x}^{2} + P_{y}^{2}} = \sqrt{{(m_{1} v_{1})}^{2} + {(m_{2} v_{2})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(3,0 \cdot 2,0)}^{2} + {(2,0 \cdot 3,0)}^{2}} \approx 8,5$ кг ⋅ м/с.