Предметы

Физика

Кинематика

1.2. Прямолинейное движение

1.2.3. Графическое вычисление кинематических величин

Теория Тренинг

Физика

Общий тест

1.2. Прямолинейное движение

1.2.3. Графическое вычисление кинематических величин

Некоторые кинематические характеристики движения можно рассчитать графическим способом.

Определение проекции скорости

По графикам зависимости координаты от времени x(t) (или пройденного пути от времени S(t)) можно рассчитать соответствующую проекцию скорости v_x в определенный момент времени (рис. 1.11), например t = t₁.

Рис. 1.11

Для этого следует:

1) отметить на оси времени указанное значение момента времени t₁;

2) восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком x(t);

3) провести к графику касательную линию в точке его пересечения с перпендикуляром;

4) рассчитать тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси времени;

5) определить проекцию скорости на ось Ox как тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси времени:

v_x(t₁) = tg α₁.

Следует отметить, что проекция скорости v_x является

положительной, если касательная к графику образует острый угол с направлением оси t (см. рис. 1.11);
отрицательной, если касательная к графику образует тупой угол с направлением оси t (рис. 1.12).

Пояснение к использованию алгоритма. На рис. 1.12 изображен график зависимости координаты от времени x(t). Для определения проекции скорости на ось Ox в момент времени t₃ проведен перпендикуляр t = t₃. В точке пересечения перпендикуляра с зависимостью x(t) проведена касательная линия. Она образует тупой угол с осью t. Следовательно, проекция скорости v_x на ось Ox в указанный момент времени является отрицательной величиной:

$v_{x} (t_{3}) = - | tg α_{3} |$ .

Рис. 1.12

Определение проекции ускорения

По графику зависимости проекции скорости от времени v_x(t) можно рассчитать проекцию ускорения a_x на соответствующую ось в определенный момент времени (рис. 1.13), например t = t₂.

Для этого следует:

1) отметить на оси времени указанное значение момента времени t₂;

2) восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком v_x(t);

3) провести к графику касательную линию в точке его пересечения с перпендикуляром;

4) рассчитать тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси времени;

5) определить проекцию ускорения на ось Ox как тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси времени:

a_x(t₂) = tg α₂.

Следует отметить, что проекция ускорения a_x является

положительной, если касательная к графику образует острый угол с направлением оси t (см. рис. 1.13);

Рис. 1.13

отрицательной, если касательная к графику образует тупой угол с направлением оси t (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Пояснение к использованию алгоритма. На рис. 1.14 изображен график зависимости проекции скорости от времени v_x(t). Для определения проекции ускорения на ось Ox в момент времени t₄ проведен перпендикуляр t = t₄. В точке пересечения перпендикуляра с зависимостью v_x(t) проведена касательная линия. Она образует тупой угол с осью t. Следовательно, проекция ускорения a_x на ось Ox в указанный момент времени является отрицательной величиной:

$a_{x} (t_{4}) = - | tg α_{4} |$ .

Определение пройденного пути и модуля перемещения (комбинация равномерного и равноускоренного движения)

По графику зависимости проекции скорости от времени v_x(t) можно рассчитать пройденный путь и модуль перемещения материальной точки (тела) за определенный промежуток времени ∆t = t₂ − t₁.

Для расчета указанных характеристик по графику, содержащему участки только равноускоренного и равномерного движения, следует:

1) отметить на оси времени указанный интервал времени ∆t;

2) восстановить перпендикуляры из точек t = t₁ и t = t₂ до пересечения с графиком v_x(t);

3) рассчитать площадь, ограниченную графиком v_x(t), перпендикулярами t = t₁ и t = t₂, осью t;

4) вычислить пройденный путь S и модуль перемещения ∆r как суммы:

S = S₁ + S₂ + ... + S_n,

∆r = S₁ + S₂ + ... + S_n,

где S₁, S₂, ..., S_n — пути, пройденные материальной точкой на каждом из участков равноускоренного и равномерного движения.

Пояснение к использованию алгоритма. На рис. 1.15 показана зависимость проекции скорости от времени для материальной точки (тела), движущейся на участке AB равноускоренно, на участке BC — равномерно, на участке CD — равноускоренно, но с ускорением, отличающимся от ускорения на участке AB.

Рис. 1.15

В этом случае пройденный путь S и модуль перемещения ∆r совпадают и рассчитываются по формулам:

S = S₁ + S₂ + S₃,

∆r = S₁ + S₂ + S₃,

где S₁ — путь, пройденный материальной точкой (телом) на участке AB; S₂ — путь, пройденный на участке BC; S₃ — путь, пройденный на участке CD; S₁, S₂, S₃ рассчитываются по алгоритму, приведенному выше.

Определение пройденного пути и модуля перемещения (комбинация равномерного, равноускоренного и равнозамедленного движения)

Для расчета указанных характеристик по графику v_x(t), содержащему участки не только равноускоренного и равномерного, но и равнозамедленного движения, следует:

1) отметить на оси времени указанный интервал времени ∆t;

2) восстановить перпендикуляры из точек t = t₁ и t = t₂ до пересечения с графиком v_x(t);

3) рассчитать площадь, ограниченную графиком v_x(t), перпендикулярами t = t₁ и t = t₂, осью t;

4) вычислить пройденный путь S как сумму:

S = S₁ + S₂ + ... + S_n,

где S₁, S₂, ..., S_n — пути, пройденные материальной точкой на каждом из участков;

5) вычислить модуль перемещения как разность суммарного пути, пройденного материальной точкой до точки остановки, и пути, пройденного материальной точкой после остановки.

Пояснение к использованию алгоритма. На рис. 1.16 показана зависимость скорости от времени для материальной точки (тела), движущейся на участке AB равноускоренно, на участке BC — равномерно, на участке CF — равнозамедленно.

Рис. 1.16

В том случае, когда есть участок равнозамедленного движения (включающий точку остановки — точка D), пройденный путь S и модуль перемещения ∆r не совпадают. Пройденный путь вычисляют по формуле

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄,

где S₁ — путь, пройденный материальной точкой (телом) на участке AB; S₂ — путь, пройденный на участке BC; S₃ — путь, пройденный на участке CD; S₄ — путь, пройденный на участке DF; S₁, S₂, S₃, S₄ рассчитываются по алгоритму, приведенному выше; необходимо отметить, что величина S₄ является положительной.

Модуль перемещения вычисляют по формуле

∆r = S₁ + S₂ + S₃ − S₄,

вычитая путь, пройденный материальной точкой (телом) после поворота.

Определение модуля изменения скорости

По графику зависимости проекции ускорения от времени a_x(t) можно найти модуль изменения скорости ∆v материальной точки (тела) за определенный интервал времени ∆t = t₂ − t₁ (рис. 1.17).

Рис. 1.17

Для этого следует:

1) отметить на оси времени указанный интервал времени ∆t;

2) восстановить перпендикуляры из точек t = t₁ и t = t₂ до пересечения с графиком a_x(t);

3) рассчитать площадь, ограниченную графиком a_x(t), перпендикулярами t = t₁ и t = t₂, осью t;

4) вычислить модуль изменения скорости за указанный интервал времени как площадь.

Пример 4. График зависимости проекции скорости первого тела на ось Ox от времени изображается прямой, проходящей через точки (0; 6) и (3; 0), второго — через точки (0; 0) и (8; 4), где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Во сколько раз отличаются модули ускорений первого и второго тел?

Решение. Графики зависимости проекций скорости от времени для обоих тел показаны на рисунке.

Проекция ускорения первого тела определяется как тангенс тупого угла α₁; ее модуль вычисляем по формуле

$| a_{x 1} | = | tg α_{1} | = | tg (180 - α_{3}) | = \frac{6}{3} = 2$ м/с².

Первое тело движется равнозамедленно; величина его ускорения составляет a₁ = = 2 м/с².

Проекция ускорения второго тела определяется как тангенс острого угла α₂; ее модуль вычисляем по формуле

$a_{x 2} = tg α_{2} = \frac{4}{8} = 0,5$ м/с².

Второе тело движется равноускоренно; величина его ускорения составляет a₂ = 0,5 м/с².

Искомое отношение модулей ускорений первого и второго тел равно:

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{0,5} = 4$ .

Величина ускорения первого тела больше величины ускорения второго тела в 4 раза.

Пример 5. График зависимости y-координаты от времени для первого тела изображается прямой, проходящей через точки (0; 0) и (5; 3), второго — через точки (3; 0) и (6; 6), где координата задана в метрах, время — в секундах. Определить отношение модулей проекций скоростей указанных тел.

Решение. Графики зависимости y-координаты от времени для обоих тел показаны на рисунке.

Проекция скорости первого тела определяется как тангенс угла α₁; ее модуль вычисляем по формуле

$v_{y 1} = tg α_{1} = \frac{3}{5} = 0,6$ м/с.

Проекция скорости второго тела определяется как тангенс угла α₂; ее модуль вычисляем по формуле

$v_{y 2} = tg α_{2} = \frac{6}{3} = 2$ м/с.

Обе проекции скоростей имеют положительный знак; следовательно, оба тела движутся равноускоренно.

Отношение модулей проекций скоростей указанных тел составляет:

$\frac{| v_{y 2} |}{| v_{y 1} |} = \frac{2}{0,6} \approx 3$ .

Величина проекции скорости второго тела больше величины проекции скорости второго тела приблизительно в 3 раза.

Пример 6. График зависимости скорости тела от времени изображается прямой, проходящей через точки (0; 4,0) и (2,5; 0), где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Во сколько раз путь, пройденный телом, больше модуля перемещения за 6,0 с движения?

Решение. График зависимости скорости тела от времени показан на рисунке. Точка остановки τ_ост = 2,5 с попадает в интервал от 0 с до 6,0 с.

Следовательно, пройденный путь представляет собой сумму

S = S₁ + S₂,

а модуль перемещения — разность

$| Δ \vec{r} | = | S_{1} - S_{2} |$ ,

где S₁ — путь, пройденный телом за интервал времени от 0 с до 2,5 с; S₂ — путь, пройденный телом за интервал времени от 2,5 с до 6,0 с.

Значения S₁ и S₂ рассчитаем графически как площади треугольников, показанных на рисунке:

$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 4,0 \cdot 2,5 = 5,0$ м;

$S_{2} = \frac{1}{2} \cdot (6,0 - 2,5) \cdot 5,6 = 9,8$ м.

Замечание: значение скорости v = 5,6 м/с в момент времени t = 6,0 c получено из подобия треугольников, т.е. из отношения

$\frac{v}{4,0} = \frac{6,0 - 2,5}{2,5 - 0}$ .

Вычислим пройденный путь:

S = S₁ + S₂ = 5,0 + 9,8 = 14,8 м

и величину перемещения:

$| Δ \vec{r} | = | S_{1} - S_{2} | = | 5,0 - 9,8 | = 4,8$ м.

Найдем искомое отношение пройденного пути и модуля перемещения:

$\frac{S}{| Δ \vec{r} |} = \frac{14,8}{4,8} \approx 3,1$ .

Пройденный путь приблизительно в 3,1 раза превышает величину перемещения.