Физика

Пример 7. Одну четверть пути автобус движется со скоростью 36 км/ч, вторую четверть пути — 54 км/ч, оставшийся путь — со скоростью 72 км/ч. Рассчитать среднюю путевую скорость автобуса.

Решение. Общий путь, пройденный автобусом, обозначим S:

S_общ = S.

Тогда

S₁ = S/4 — путь, пройденный автобусом на первом участке,

S₂ = S/4 — путь, пройденный автобусом на втором участке,

S₃ = S/2 — путь, пройденный автобусом на третьем участке.

Время движения автобуса определяется формулами:

• на первом участке (S₁ = S/4) —

  $t_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{S}{4v_1}$;

• на втором участке (S₂ = S/4) —

  $t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{S}{4v_2}$;

• на третьем участке (S₃ = S/2) —

  $t_3=\frac{S_3}{v_3}=\frac{S}{2v_3}$.

Общее время движения автобуса составляет:

$t_{\text{общ}}=t_1+t_2+t_3=\frac{S}{4v_1}+\frac{S}{4v_2}+\frac{S}{2v_3}=S\left(\frac{1}{4v_1}+\frac{1}{4v_2}+\frac{1}{2v_3}\right)$.

Вычисление средней путевой скорости автобуса произведем по формуле

$v_s=\frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}=\frac{S}{S\left(\frac{1}{4v_1}+\frac{1}{4v_2}+\frac{1}{2v_3}\right)}=$

$=\frac{1}{\left(\frac{1}{4v_1}+\frac{1}{4v_2}+\frac{1}{2v_3}\right)}=\frac{4v_1{v}_2{v}_3}{v_2{v}_3+v_1{v}_3+2v_1{v}_2}$.

Расчет дает значение средней путевой скорости:

$v_s=\frac{4\cdot 36\cdot 54\cdot 72}{54\cdot 72+36\cdot 72+2\cdot 36\cdot 54}=54$ км/ч.

Пример 8. Пятую часть времени городской автобус тратит на остановки, остальное время он движется со скоростью 36 км/ч. Определить среднюю путевую скорость автобуса.

Решение. Общее время движения автобуса на маршруте обозначим t:

t_общ = t.

Тогда

t₁ = t/5 — время, затраченное на остановки,

t₂ = 4t/5 — время движения автобуса.

Путь, пройденный автобусом:

• за время t₁ = t/5 —

  S₁ = v₁t₁ = 0,

так как скорость автобуса v₁ на данном временном интервале равна нулю (v₁ = 0);

• за время t₂ = 4t/5 —

  $S_2=v_2{t}_2=v_2\frac{4t}{5}=\frac{4}{5}{v}_{2}t$,

  где v₂ — скорость автобуса на данном временном интервале (v₂ = = 36 км/ч).

Общий путь автобуса составляет:

$S_{\text{общ}}=S_1+S_2=0+\frac{4}{5}{v}_{2}t=\frac{4}{5}{v}_{2}t$.

Вычисление средней путевой скорости автобуса произведем по формуле

$v_s=\frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}=\frac{\frac{4}{5}{v}_{2}t}{t}=\frac{4}{5}{v}_2$.

Расчет дает значение средней путевой скорости:

$v_s=\frac{4}{5}\cdot 36=30$ км/ч.

Пример 9. Уравнение движения материальной точки имеет вид x(t) = (9,0 − 6,0t + 2,0t²) м, где координата задана в метрах, время — в секундах. Определить среднюю путевую скорость и величину средней скорости перемещения материальной точки за первые три секунды движения.

Решение. Для определения средней скорости перемещения необходимо рассчитать перемещение материальной точки. Модуль перемещения материальной точки в интервале времени от t₁ = 0 с до t₂ = 3,0 с вычислим как разность координат:

$\left|\Delta \overrightarrow{r}\right|=\left|x\left(t_2\right)-x\left(t_1\right)\right|$,

где

$x\left(t_1\right)=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}{t}_1+\mathrm{2,0}{t}_1^2=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}\cdot 0+\mathrm{2,0}\cdot 0^2=\mathrm{9,0}$ м;

$x\left(t_2\right)=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}{t}_2+\mathrm{2,0}{t}_2^2=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}\cdot \mathrm{3,0}+\mathrm{2,0}\cdot {\left(\mathrm{3,0}\right)}^2=\mathrm{9,0}$ м.

Подстановка значений в формулу для вычисления модуля перемещения дает:

$\left|\Delta \overrightarrow{r}\right|=\left|x\left(t_2\right)-x\left(t_1\right)\right|=\mathrm{9,0}-\mathrm{9,0}=0$ м.

Таким образом, перемещение материальной точки равно нулю. Следовательно, модуль средней скорости перемещения также равен нулю:

$\left|{\overrightarrow{v}}_r\right|=\frac{\left|\Delta \overrightarrow{r}\right|}{t_2-t_1}=\frac{0}{\mathrm{3,0}-0}=0$ м/с.

Для определения средней путевой скорости нужно рассчитать путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁ = 0 с до t₂ = 3,0 с. Движение точки является равнозамедленным, поэтому необходимо выяснить, попадает ли точка остановки в указанный интервал.

Для этого запишем закон изменения скорости материальной точки с течением времени в виде:

$v_x=v_{0x}+a_{x}t=-\mathrm{6,0}+\mathrm{4,0}t$,

где v_0x = −6,0 м/с — проекция начальной скорости на ось Ox; a_x = = 4,0 м/с² — проекция ускорения на указанную ось.

Найдем точку остановки из условия

v(τ_ост) = 0,

${\tau }_{\text{ост}}=\frac{v_0}{a}=\frac{\mathrm{6,0}}{\mathrm{4,0}}=\mathrm{1,5}$ с.

Точка остановки попадает во временной интервал от t₁ = 0 с до t₂ = 3,0 с. Таким образом, пройденный путь вычислим по формуле

S = S₁ + S₂,

где $S_1=\left|x\left({\tau }_{\text{ост}}\right)-x\left(t_1\right)\right|$ — путь, пройденный материальной точкой до остановки, т.е. за время от t₁ = 0 с до τ_ост = 1,5 с; $S_2=\left|x\left(t_2\right)-x\left({\tau }_{\text{ост}}\right)\right|$ — путь, пройденный материальной точкой после остановки, т.е. за время от τ_ост = 1,5 с до t₁ = 3,0 с.

Рассчитаем значения координат в указанные моменты времени:

$x\left(t_1\right)=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}{t}_1+\mathrm{2,0}{t}_1^2=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}\cdot 0+\mathrm{2,0}\cdot 0^2=\mathrm{9,0}$ м;

$x\left({\tau }_{\text{ост}}\right)=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}{\tau }_{\text{ост}}+\mathrm{2,0}{\tau }_{\text{ост}}^2=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}\cdot \mathrm{1,5}+\mathrm{2,0}\cdot {\left(\mathrm{1,5}\right)}^2=\mathrm{4,5}$ м;

$x\left(t_2\right)=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}{t}_2+\mathrm{2,0}{t}_2^2=\mathrm{9,0}-\mathrm{6,0}\cdot \mathrm{3,0}+\mathrm{2,0}\cdot {\left(\mathrm{3,0}\right)}^2=\mathrm{9,0}$ м.

Значения координат позволяют вычислить пути S₁ и S₂:

$S_1=\left|x\left({\tau }_{\text{ост}}\right)-x\left(t_1\right)\right|=\left|\mathrm{4,5}-\mathrm{9,0}\right|=\mathrm{4,5}$ м;

$S_2=\left|x\left(t_2\right)-x\left({\tau }_{\text{ост}}\right)\right|=\left|\mathrm{9,0}-\mathrm{4,5}\right|=\mathrm{4,5}$ м,

а также суммарный пройденный путь:

$S=S_1+S_2=\mathrm{4,5}+\mathrm{4,5}=\mathrm{9,0}$ м.

Следовательно, искомое значение средней путевой скорости материальной точки равно

$v_s=\frac{S}{t_2-t_1}=\frac{\mathrm{9,0}}{\mathrm{3,0}-0}=\mathrm{3,0}$ м/с.

Пример 10. График зависимости проекции скорости материальной точки от времени представляет собой прямую линию и проходит через точки (0; 8,0) и (12; 0), где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Во сколько раз средняя путевая скорость за 16 с движения превышает величину средней скорости перемещения за то же время?

Решение. График зависимости проекции скорости тела от времени показан на рисунке.

Для графического вычисления пути, пройденного материальной точкой, и модуля ее перемещения необходимо определить значение проекции скорости в момент времени, равный 16 с.

Существует два способа определения значения v_x в указанный момент времени: аналитический (через уравнение прямой) и графический (через подобие треугольников). Для нахождения v_x воспользуемся первым способом и составим уравнение прямой по двум точкам:

$\frac{t-t_1}{t_2-t_1}=\frac{v_x-v_{x1}}{v_{x2}-v_{x1}}$,

где (t₁; v_x1) — координаты первой точки; (t₂; v_x2) — координаты второй точки. По условию задачи: t₁ = 0, v_x1 = 8,0, t₂ = 12, v_x2 = 0. С учетом конкретных значений координат данное уравнение принимает вид:

$\frac{t-0}{12-0}=\frac{v_x-\mathrm{8,0}}{0-\mathrm{8,0}}$,

или

$v_x=\mathrm{8,0}-\frac{2}{3}t$.

При t = 16 с значение проекции скорости составляет

$\left|v_x\right|=\frac{8}{3}$ м/с.

Данное значение можно получить также из подобия треугольников.

• Вычислим путь, пройденный материальной точкой, как сумму величин S₁ и S₂:

  S = S₁ + S₂,

  где $S_1= \frac{1}{2}\cdot \mathrm{8,0}\cdot 12=48$ м — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 0 с до 12 с; $S_2= \frac{1}{2}\cdot (16-12)\cdot \left|v_x\right|=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{4,0}\cdot \frac{8}{3}=$$=\frac{16}{3}$ м — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 12 с до 16 с.

Суммарный пройденный путь составляет

$S=S_1+S_2=48+\frac{16}{3}=\frac{160}{3}$ м.

Средняя путевая скорость материальной точки равна

$v_s=\frac{S}{t_2-t_1}=\frac{160}{3\cdot 16}=\frac{10}{3}$ м/с.

• Вычислим значение перемещения материальной точки как модуль разности величин S₁ и S₂:

  $S=\left|S_1-S_2\right|=\left|48-\frac{16}{3}\right|=\frac{128}{3}$ м.

Величина средней скорости перемещения составляет

$\left|{\overrightarrow{v}}_r\right|=\frac{\left|\Delta \overrightarrow{r}\right|}{t_2-t_1}=\frac{128}{3\cdot 16}=\frac{8}{3}$ м/с.

Искомое отношение скоростей равно

$\frac{v_s}{\left|{\overrightarrow{v}}_r\right|}=\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{8}=\frac{10}{8}=\mathrm{1,25}$.

Средняя путевая скорость материальной точки в 1,25 раза превышает модуль средней скорости перемещения.