Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

1.2. Прямолинейное движение

1.2.2. Равнопеременное прямолинейное движение

Равнопеременным прямолинейным движением материальной точки (тела) называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени

∆t₁ = ∆t₂ = ... = ∆t_n

изменяется соответственно на равные величины

$a = \frac{Δ v_{1}}{Δ t_{1}} = \frac{Δ v_{2}}{Δ t_{2}} = ... = \frac{Δ v_{n}}{Δ t_{n}}$ .

Векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения скорости, численно равную отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$ ,

называют ускорением. В Международной системе единиц ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (1 м/с²).

Траекторией материальной точки при равнопеременном прямолинейном движении является прямая линия.

Различают два вида равнопеременного прямолинейного движения: равноускоренное прямолинейное движение и равнозамедленное прямолинейное движение.

Скорость материальной точки при равнопеременном движении изменяется по закону:

$\vec{v} (t) = {\vec{v}}_{0} + \vec{a} t$ ,

где $\vec{v} (t)$ — вектор скорости точки в произвольный момент времени t; ${\vec{v}}_{0}$ — вектор ее начальной скорости; $\vec{a}$ — вектор ускорения.

Модуль скорости при равнопеременном движении может как увеличиваться (равноускоренное движение), так и уменьшаться (равнозамедленное движение).

Уравнение движения материальной точки при равнопеременном прямолинейном движении записывается в виде:

$\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + {\vec{v}}_{0} t + \frac{\vec{a} t^{2}}{2}$ ,

где $\vec{r} (t)$ — радиус-вектор положения точки в произвольный момент времени t; ${\vec{r}}_{0}$ — радиус-вектор начального положения материальной точки.

Если равнопеременное прямолинейное движение материальной точки (тела) происходит вдоль одной из координатных осей (например, Ox), то уравнение движения целесообразно записывать в виде:

$x (t) = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{a_{x} t^{2}}{2}$ ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v_x(t) = v₀_x + a_xt,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀_x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; a_x — проекция ускорения на данную ось.

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренным прямолинейным движением называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени увеличивается на равные величины. Векторы скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$ при таком движении имеют одинаковые направления:

$\vec{v} ↑ ↑ \vec{a}$ .

Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки целесообразно рассматривать вдоль одной из координатных осей, например Ox.

Если при равноускоренном прямолинейном движении вектор начальной скорости (а значит, и ускорения) материальной точки совпадает с положительным направлением оси Ox (проекции скорости и ускорения положительные),

Рис. 1.4

то уравнение движения принимает вид (рис. 1.4):

$x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2}$ ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v_x(t) = v₀ + at,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀_x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; a_x — проекция ускорения на данную ось.

Если при равноускоренном прямолинейном движении вектор начальной скорости (а значит, и ускорения) материальной точки совпадает с отрицательным направлением оси Ox (проекции скорости и ускорения отрицательные),

Рис. 1.5

то уравнение движения выглядит следующим образом (рис. 1.5):

$x (t) = x_{0} - v_{0} t - \frac{a t^{2}}{2}$ ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v_x(t) = −v₀ − at,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀_x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; a_x — проекция ускорения на данную ось.

При равноускоренном прямолинейном движении модуль вектора перемещения и пройденный материальной точкой (телом) путь совпадают и могут быть вычислены с помощью формулы

$| Δ \vec{r} (t) | = S (t) = v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2}$

или

$S = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a}$ ,

где v₀ — модуль скорости в начале временного интервала; v — модуль скорости в конце временного интервала; a — модуль ускорения.

Путь, пройденный материальной точкой при равноускоренном прямолинейном движении за n секунд:

$S (n) = v_{0} n + \frac{a n^{2}}{2}$ ,

где v₀ — модуль скорости в начале временного интервала; a — модуль ускорения;

и путь, пройденный за n-ю секунду, отличаются (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Путь, пройденный за n-ю секунду, может быть найден как разность:

$S_{n} = S (n) - S (n - 1)$ ,

где $S (n) = v_{0} n + \frac{a n^{2}}{2}$ — путь, пройденный за n секунд; $S (n - 1) = v_{0} (n - 1) + \frac{a {(n - 1)}^{2}}{2}$ — путь, пройденный за (n − 1) секунд.

При равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости путь, пройденный телом за n-ю секунду, рассчитывается по формуле

$S_{n} = \frac{a (2 n - 1)}{2} = (n - 0,5) a$ ,

где a — модуль ускорения.

Равнозамедленное прямолинейное движение

Равнозамедленным прямолинейным движением называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени уменьшается на равные величины. Вектор скорости $\vec{v}$ и вектор ускорения $\vec{a}$ при таком движении имеют противоположные направления:

$\vec{v} ↑ ↓ \vec{a}$ .

Равнозамедленное прямолинейное движение материальной точки целесообразно рассматривать вдоль одной из координатных осей, например Ox.

Если при равнозамедленном прямолинейном движении вектор начальной скорости материальной точки совпадает с положительным направлением оси Ox, то вектор ее ускорения имеет направление, противоположное указанной оси (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Уравнение движения в этом случае имеет вид:

$x (t) = x_{0} + v_{0} t - \frac{a t^{2}}{2}$ ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v_x(t) = v₀ − at,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀_x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; a_x — проекция ускорения на данную ось.

Если при равнозамедленном прямолинейном движении вектор начальной скорости материальной точки совпадает с отрицательным направлением оси Ox (проекция начальной скорости отрицательная), то вектор ее ускорения направлен в положительном направлении указанной оси (проекция ускорения положительная) (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Уравнение движения выглядит следующим образом:

$x (t) = x_{0} - v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2}$ ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v_x(t) = − v₀ + at,

где x(t) — зависимость координаты от времени; x₀ — значение координаты в начальный момент времени (t = 0); v₀_x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox; a_x — проекция ускорения на данную ось.

При равнозамедленном прямолинейном движении существует точка остановки (точка поворота), где скорость обращается в нуль; ей соответствует момент времени τ_ост, который определяется из условия v(τ_ост) = 0:

$τ_{ост} = \frac{v_{0}}{a}$ .

До точки остановки тело движется равнозамедленно (в ту сторону, куда направлен вектор начальной скорости ${\vec{v}}_{0}$ ).

После точки остановки тело разворачивается и движется в противоположном направлении равноускоренно с нулевой начальной скоростью.

Путь, пройденный материальной точкой (телом) за определенный интервал времени при равнозамедленном прямолинейном движении, вычисляют по-разному в зависимости от того, содержит ли данный интервал точку остановки.

Если точка остановки не попадает в указанный интервал времени, то пройденный путь определяют как

$S (t) = v_{0} t - \frac{a t^{2}}{2}$ или $S = \frac{v_{0}^{2} - v^{2}}{2 a}$ ,

где v₀ — модуль скорости в начале временного интервала; v — модуль скорости в конце временного интервала; a — модуль ускорения.

Если точка остановки попадает в указанный интервал времени, то пройденный путь определяют как сумму:

S(t) = S₁ + S₂,

где S₁ — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁ до τ_ост; S₂ — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от τ_ост до t₂ (рис. 1.9):

$S_{1} = | x (τ_{ост}) - x (t_{1}) |$ ; $S_{2} = | x (t_{2}) - x (τ_{ост}) |$ ,

где x(t₁) — координата материальной точки в момент времени t₁; x(t₂) — координата точки в момент времени t₂; x(τ_ост) — координата точки в момент времени τ_ост.

Рис. 1.9

При равнозамедленном прямолинейном движении модуль вектора перемещения материальной точки удобно вычислять как разность координат (рис. 1.10):

Рис. 1.10

$| Δ \vec{r} (t) | = | x (t_{2}) - x (t_{1}) |$ ,

где x(t₁) — координата материальной точки в момент времени t₁; x(t₂) — координата точки в момент времени t₂; x(τ_ост) — координата точки в момент времени τ_ост.

Пример 1. Материальная точка движется вдоль оси Ox. Проекция ее скорости с течением времени меняется по закону v = 12 − 4,0t, где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Определить модуль перемещения материальной точки за интервал времени от 2,0 с до 4,0 с.

Решение. При равнопеременном движении зависимость проекции скорости от времени имеет вид:

v_x = v₀_x + a_xt,

где v₀_x = 12 м/с — проекция начальной скорости; a_x = −4,0 м/с² — проекция ускорения на указанную координатную ось.

Запишем уравнение движения материальной точки:

$x (t) = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{a_{x} t^{2}}{2} = x_{0} + 12 t - 2,0 t^{2}$ ,

где x₀ — начальная координата точки.

Вычислим координаты материальной точки в моменты времени t₁ = 2,0 c и t₂ = 4,0 c. Для этого подставим в уравнение движения значения t₁ и t₂:

$x (t_{1}) = x_{0} + 12 t_{1} - 2 t_{1}^{2} = x_{0} + 12 \cdot 2,0 - 2 \cdot {(2,0)}^{2} = x_{0} + 16$ ,

$x (t_{2}) = x_{0} + 12 t_{2} - 2 t_{2}^{2} = x_{0} + 12 \cdot 4,0 - 2 \cdot {(4,0)}^{2} = x_{0} + 16$ .

Модуль перемещения материальной точки вычислим как разность координат:

$| Δ \vec{r} | = | x (t_{2}) - x (t_{1}) | = 0$ .

Перемещение материальной точки равно нулю, т.е. она возвратилась в то место на координатной оси, где находилась в момент времени t₁ = 2,0 c.

Пример 2. Материальная точка движется вдоль оси Ox. Проекция ее скорости с течением времени меняется по закону v = 9,0 − 1,5t, где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Определить путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 4,0 с до 7,0 с.

Решение. При равнопеременном движении зависимость проекции скорости от времени имеет вид:

v_x = v₀_x + a_xt,

где v₀_x = 9,0 м/с — проекция начальной скорости; a_x = −1,5 м/с² — проекция ускорения на указанную координатную ось.

Запишем уравнение движения материальной точки:

$x (t) = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{a_{x} t^{2}}{2} = x_{0} + 9,0 t - 0,75 t^{2}$ ,

где x0 — начальная координата точки.

Точка остановки, вычисленная по формуле

$τ_{ост} = \frac{v_{0}}{a} = \frac{9,0}{1,5} = 6,0$ c,

попадает в интервал времени, указанный в условии задачи.

В интервале времени от t1 = 4,0 c до τост = 6,0 с точка движется равнозамедленно. Следовательно, пройденный путь вычисляем по формуле

$S_{1} = | x (τ_{ост}) - x (t_{1}) |$ ,

где

$x (τ_{ост}) = x_{0} + 9,0 τ_{ост} - 0,75 τ_{ост}^{2} =$

$= x_{0} + 9,0 \cdot 6,0 - 0,75 \cdot {(6,0)}^{2} = (x_{0} + 27)$ м;

$x (t_{1}) = x_{0} + 9,0 t_{1} - 0,75 t_{1}^{2} = x_{0} + 9,0 \cdot 4,0 - 0,75 \cdot {(4,0)}^{2} = (x_{0} + 24)$ м.

Таким образом, путь S1, пройденный материальной точкой в указанном интервале времени, равен:

$S_{1} = | x (τ_{ост}) - x (t_{1}) | = | (x_{0} + 27) - (x_{0} + 24) | = 3,0$ м.

В интервале времени от τост = 6,0 с до t2 = 7,0 c точка движется равноускоренно. Следовательно, пройденный путь вычисляем по формуле

$S_{1} = | x (t_{2}) - x (τ_{ост}) |$ ,

где

$x (τ_{ост}) = x_{0} + 9,0 τ_{ост} - 0,75 τ_{ост}^{2} =$

$= x_{0} + 9,0 \cdot 6,0 - 0,75 \cdot {(6,0)}^{2} = (x_{0} + 27)$ м;

$x (t_{2}) = x_{0} + 9,0 t_{2} - 0,75 t_{2}^{2} =$

$= x_{0} + 9,0 \cdot 7,0 - 0,75 \cdot {(7,0)}^{2} = (x_{0} + 26,25)$ м.

Таким образом, путь S₂, пройденный материальной точкой в указанном интервале времени, равен:

$S_{2} = | x (t_{2}) - x (τ_{ост}) | = | (x_{0} + 26,25) - (x_{0} + 27) | = 0,75 м \approx 0,8$ м.

Суммарный путь S, пройденный материальной точкой в интервале времени от 4,0 с до 7,0 с, составляет

$S = S_{1} + S_{2} \approx 3,0 + 0,8 = 3,8$ м.

Пример 3. Тело движется по прямой и в начале пути имеет скорость 3 м/с. Пройдя некоторое расстояние, тело приобретает скорость 9 м/с. Считая движение тела равноускоренным, определить его скорость на половине указанного расстояния.

Решение. В условии задачи нет указаний на время движения тела. Поэтому для вычисления пройденного пути целесообразно воспользоваться формулой, не содержащей время движения, т.е.

$S = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a}$ ,

где v₀ — модуль скорости материальной точки в начале пути; v — модуль ее скорости в конце пути; a — модуль ускорения.

Разобьем путь на два равных участка S₁ = S/2 и S₂ = S/2, обозначив величину скорости в начале первого участка v₀, в конце второго участка — v_к, в конце первого (начале второго) участка пути — v, как показано на рисунке.

Запишем указанную формулу дважды:

для первого участка пути —
$S_{1} = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a}$ ;
для второго участка пути —
$S_{2} = \frac{v_{к}^{2} - v^{2}}{2 a}$ ,
где v₀ = 3 м/с; v_к = 9 м/с.

Отношение уравнений дает равенство

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a} \cdot \frac{2 a}{v_{к}^{2} - v^{2}} = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{v_{к}^{2} - v^{2}} = 1$ ,

позволяющее вычислить величину искомой скорости:

$v = \sqrt{\frac{v_{к}^{2} + v_{0}^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{9^{2} + 3^{2}}{2}} \approx 7$ м/с.

Физика