Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

13.2. Свет и микрочастицы как объекты квантовой теории

13.2.2. Фотоны, пучки фотонов

Свет — сложное явление, обладающее двойственной корпускулярно-волновой природой.

В одних случаях свет проявляет себя как электромагнитные волны, в других — как поток частиц — фотонов.

Фотоны (кванты света) — электрически нейтральные частицы, распространяющиеся в пространстве со скоростью света.

Фотоны обладают следующими характеристиками:

масса покоя фотона равна нулю:

m _0γ = 0;

заряд фотона равен нулю:

q _γ = 0;

энергия фотона связана с его частотой и длиной волны формулами:

E _γ = hν, $E_{γ} = \frac{h c}{λ}$ ,

где ν — частота фотона, ν = c/λ; c — скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10⁸ м/с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; λ — длина волны фотона;

скорость фотона в вакууме равна скорости света (в вакууме):

c = 3 ⋅ 10⁸ м/с;

скорость фотона в среде определяется отношением

$v = \frac{c}{n}$

импульс фотона определяется формулами:

$p_{γ} = \frac{h ν}{c}$ ; $p_{γ} = \frac{h}{λ}$ .

масса движущегося фотона определяется с помощью формулы Эйнштейна, устанавливающей эквивалентность массы m и энергии E, т.е. E = mc ²:

$m_{γ} = \frac{E_{γ}}{c^{2}} = \frac{h ν}{c^{2}}$ , или $m_{γ} = \frac{E_{γ}}{c^{2}} = \frac{h}{λ c}$ .

Энергия пучка фотонов (импульса лазера) равна сумме энергий каждого фотона в отдельности:

$\tilde{E} = N E_{γ}$ ,

где N — число фотонов в пучке; E _γ — энергия одного (каждого) фотона.

Энергия фотона определяется его частотой (длиной волны):

E _γ = hν, $E_{γ} = \frac{h c}{λ}$ ,

где ν — частота фотона, ν = c/λ; c — скорость света в вакууме; λ — длина волны фотона; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с.

Энергия импульсного лазера (энергия светового пучка, испускаемого лазером) определяется произведением

$E = n \tilde{E}$ ,

где n — число импульсов, испущенных лазером за определенное время; $\tilde{E}$ — энергия одного импульса.

Энергия одного импульса лазера (пучка фотонов) равна сумме энергий каждого фотона в отдельности:

$\tilde{E} = N E_{γ}$ ,

где N — число фотонов в пучке; E _γ — энергия одного (каждого) фотона.

Энергия фотона определяется его частотой (длиной волны):

E _γ = hν, $E_{γ} = \frac{h c}{λ}$ ,

где ν — частота фотона, ν = c/λ; λ — длина волны фотона; c — скорость света в вакууме; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с.

Мощность пучка фотонов определяется отношением

$P = \frac{\tilde{E}}{t} = \frac{N E_{γ}}{t}$ ,

где $\tilde{E}$ — энергия пучка фотонов (импульса лазера), $\tilde{E} = N E_{γ}$ ; N/t — число фотонов, испускаемых лазером ежесекундно; E _γ — энергия фотона, E _γ = hν = hc/λ; ν — частота фотона; λ — длина волны фотона; c — скорость света в вакууме; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; t — время, за которое испускается пучок фотонов.

Мощность импульсного лазера (мощность светового пучка, испускаемого импульсным лазером) определяется отношением

$P = \frac{E}{t} = \frac{n \tilde{E}}{t}$ ,

где n/t — число импульсов, испускаемых лазером ежесекундно; $\tilde{E}$ — энергия одного импульса, $\tilde{E} = N E_{γ}$ ; N — число фотонов в пучке; E _γ — энергия фотона, E _γ = hν = hc/λ; ν — частота фотона; λ — длина волны фотона; c — скорость света в вакууме; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с.

Коэффициент полезного действия ( КПД) лазера связывает электрическую мощность лазера и мощность пучка фотонов (мощность светового пучка), испускаемых лазером:

$η = \frac{P_{св}}{P_{эл}} \cdot 100 %$ ,

где P _св — мощность светового пучка; P _эл — электрическая (потребляемая) мощность лазера.

В квантовой физике оказывается удобным измерять энергию в электронвольтах: 1 электронвольт (1 эВ) равен энергии электрона, прошедшего разность потенциалов 1 вольт (1 В):

1 эВ = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл ⋅ 1 В = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Дж.

Перевод энергии осуществляется по следующим формулам:

из электронвольтов в джоули (СИ) —

E (эВ) ⋅ 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ = E (Дж),

где E (эВ) — энергия в электронвольтах; E (Дж) — энергия в джоулях;

из джоулей (СИ) в электронвольты —

$\frac{E (Дж)}{1,6 \cdot 10^{- 19}} = E (эВ)$ .

При расчетах постоянную Планка h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с следует брать с точностью, соответствующей точности остальных данных решаемой задачи.

Пример 3. Определить длину волны фотона, энергия которого равна кинетической энергии электрона, прошедшего разность потенциалов 6,6 В.

Решение. Энергии фотона и электрона определяются следующими формулами:

фотона —

$E_{γ} = \frac{h c}{λ}$ ,

где h — постоянная Планка, h = 6,6 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; c — скорость света в вакууме, c = 3,0 ⋅ 10⁸ м/с; λ — длина волны фотона;

электрона, прошедшего указанную разность потенциалов, —

$E_{e} = | q_{e} | Δ φ$ ,

где q _e — заряд электрона, q _e = −1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл; Δφ — разность потенциалов, Δφ = 6,6 В.

Согласно условию задачи энергии электрона и фотона равны:

E _e = E _γ,

или в явном виде

$| q_{e} | Δ φ = \frac{h c}{λ}$ .

Выразим отсюда искомую длину волны фотона:

$λ = \frac{h c}{| q_{e} | Δ φ}$ .

Вычислим:

$λ = \frac{6,6 \cdot 10^{- 34} \cdot 3,0 \cdot 10^{8}}{1,6 \cdot 10^{- 19} \cdot 6,6} = 1,9 \cdot 10^{- 7} м = 0,19 мкм .$

Длина волны фотона составляет 0,19 мкм.

Пример 4. При какой температуре средняя кинетическая энергия теплового движения молекулы идеального одноатомного газа равна энергии фотона с длиной волны 3,31 ⋅ 10⁻⁶ м?

Решение. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекулы идеального одноатомного газа определяется выражением

$E_{мол} = \frac{3}{2} k T$ ,

где k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10⁻²³ Дж/К; T — искомая температура газа.

Энергия фотона с определенной длиной волны представляет собой отношение

$E_{γ} = \frac{h c}{λ}$ ,

где h — постоянная Планка, h ≈ 6,63 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; c — скорость света в вакууме, c ≈ 3,00 ⋅ 10⁸ м/с; λ — длина волны фотона, λ = 3,31 ⋅ 10⁻⁶ м.

По условию задачи средняя кинетическая энергия теплового движения молекулы идеального одноатомного газа и энергия фотона равны:

E _мол = E _γ,

или в явном виде

$\frac{3}{2} k T = \frac{h c}{λ}$ .

Искомая температура определяется выражением

$T = \frac{2 h c}{3 λ k}$ .

Расчет дает значение:

$T = \frac{2 \cdot 6,63 \cdot 10^{- 34} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}}{3 \cdot 3,31 \cdot 10^{- 6} \cdot 1,38 \cdot 10^{- 23}} \approx 2900$ К.

Искомая температура составляет приблизительно 2900 К.

Пример 5. Пучок лазерного излучения с длиной волны 6,63 ⋅ 10⁻⁷ м используется для нагревания 500 г воды. За какое время вода нагреется на 10,0 К, если лазер ежесекундно испускает 1,00 ⋅ 10²¹ фотонов и все они поглощаются водой? Удельная теплоемкость воды составляет 4,20 ⋅ 10³ Дж/(кг ⋅ К).

Решение. Для нагревания воды требуется количество теплоты, определяемое формулой

Q = c _удm∆T,

где c _уд — удельная теплоемкость воды, c _уд = 4,20 ⋅ 10³ Дж/(кг ⋅ К); m — масса воды, m = 500 г; ΔT — изменение температуры воды, ΔT = 10,0 К.

Лазерный пучок за определенное время передает воде энергию, равную энергии испущенных за это время фотонов:

E = NE _γ,

где N — число фотонов, поглощенных водой за указанное время; E _γ — энергия одного фотона, E _γ = hc/λ; h — постоянная Планка, h = 6,63 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; c — скорость света в вакууме, c = 3,00 ⋅ 10⁸ м/с; λ — длина волны фотона, λ = 6,63 ⋅ 10⁻⁷ м.

Поскольку все фотоны поглощаются водой, то энергия лазерного пучка и теплота, необходимая для нагревания воды, совпадают:

E = Q,

или в явном виде

$\frac{N h c}{λ} = c_{уд} m Δ T$ .

Записанное равенство не содержит искомой величины (времени). Преобразуем его, поделив обе части на время t:

$\frac{N}{t} \cdot \frac{h c}{λ} = \frac{c_{уд} m Δ T}{t}$ ,

где N/t — число фотонов, испускаемых лазером ежесекундно, N/t = = 1,00 ⋅ 10²¹ c⁻¹; t — время, необходимое для нагревания воды.

Выразим искомую величину

$t = \frac{c_{уд} m Δ T λ}{(N / t) h c}$

и вычислим:

$t = \frac{4,20 \cdot 10^{3} \cdot 500 \cdot 10^{- 3} \cdot 10,0 \cdot 6,63 \cdot 10^{- 7}}{1,00 \cdot 10^{21} \cdot 6,63 \cdot 10^{- 34} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}} = 70,0$ с.

Следовательно, для нагревания воды на 10 К необходимо, чтобы лазер работал в течение 70 с.

Физика