Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

13.2. Свет и микрочастицы как объекты квантовой теории

13.2.1. Границы применимости классической теории. Волновые свойства микрочастиц

Границы применимости законов классической физики устанавливаются соотношением неопределенностей Гейзенберга (1927 г.):

∆x ⋅ ∆p _x ≥ h,

где Δx — неопределенность значения x-координаты частицы; Δp _x — неопределенность значения соответствующей компоненты импульса в тот же момент времени; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определена одна из входящих в неравенство величин, тем менее определенным является значение другой.

Соотношение неопределенностей Бора — Гейзенберга:

∆E ⋅ ∆t ≥ h,

где ΔE — неопределенность в измерении энергии частицы; Δt — длительность процесса измерения; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с.

Из соотношения неопределенностей следует, что определение энергии частицы с точностью до ΔE занимает промежуток времени, не меньший Δt = h/ΔE.

Любые частицы материи (фотоны, атомы, электроны и т.п.) обладают как корпускулярными (энергия, импульс и т.п.), так и волновыми характеристиками (частота, длина волны и т.п.). Корпускулярные и волновые характеристики связаны между собой определенными уравнениями.

Любой частице, обладающей импульсом $\vec{p}$ , соответствует волновой процесс, характеризуемый длиной волны де Бройля:

$λ_{Б} = \frac{h}{p}$ ,

где λ_Б — длина волны де Бройля; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; p — модуль импульса микрочастицы.

Представление о волновых свойствах микрочастиц подтверждено экспериментально в опытах по дифракции:

электронов (К. Девиссон и Л. Джермер, 1929 г.);
атомов и ионов (О. Штерн, 1930 г.).

Опыты позволили дать статистическую интерпретацию волнам де Бройля как волнам вероятности: наблюдаемая дифракционная картина есть проявление статистической закономерности, согласно которой электроны с наибольшей вероятностью попадают в определенные места пластинки.

Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств у микрочастиц привело к выводу о том, что корпускулярно-волновой дуализм является универсальным свойством материи, т.е. волновыми свойствами должны обладать и макроскопические тела.

В повседневной жизни макроскопические тела проявляют только корпускулярные свойства; это связано с малым значением длины волны де Бройля для таких тел. Например, при массе частицы 1 г и скорости 1 м/с частица обладает длиной волны де Бройля порядка 10⁻³¹ м. Чтобы «измерить» такую величину или подтвердить ее существование, необходим инструмент для измерения. Однако в обозримой Вселенной периодические структуры (например, кристаллы) с таким периодом отсутствуют.

Пример 1. Протон, обладающий массой покоя 1,7 ⋅ 10⁻²⁷ кг, движется со скоростью, модуль которой равен 2,4 ⋅ 10⁸ м/с. Найти длину волны де Бройля протона при указанной скорости.

Решение. Протону, обладающему некоторым импульсом, соответствует волновой процесс, характеризуемый длиной волны де Бройля:

$λ_{Б} = \frac{h}{p}$ ,

где h — постоянная Планка, h = 6,6 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; p — модуль импульса протона.

Протон движется с релятивистской скоростью (его скорость сопоставима со скоростью света в вакууме), поэтому обладает релятивистским импульсом, модуль которого определяется формулой

$p = \frac{m_{0} v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ ,

где m ₀ — масса покоя протона, m ₀ = 1,7 ⋅ 10⁻²⁷ кг; v — скорость протона, v = 2,4 ⋅ 10⁸ м/с; c — скорость света в вакууме, c = 3,0 ⋅ 10⁸ м/с.

Подстановка выражения для импульса релятивистского протона в формулу, определяющую длину волны де Бройля, дает:

$λ_{Б} = \frac{h \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{m_{0} v}$ .

Вычислим:

$λ_{Б} = \frac{6,6 \cdot 10^{- 34} \sqrt{1 - {(\frac{2,4 \cdot 10^{8}}{3,0 \cdot 10^{8}})}^{2}}}{1,7 \cdot 10^{- 27} \cdot 2,4 \cdot 10^{8}} = 9,7 \cdot 10^{- 16}$ м.

При указанной скорости протон имеет длину волны де Бройля, равную 9,7 ⋅ 10⁻¹⁶ м.

Пример 2. Шарик имеет массу 1,5 мг. Найти наименьшую ошибку, с которой можно определить скорость шарика, если положение его центра определено с точностью до 1,0 ⋅ 10⁻³ см.

Решение. Неопределенности в измерении координаты и импульса шарика связаны между собой соотношением неопределенностей Гейзенберга:

∆x ⋅ ∆p _x ≥ h,

где Δx — неопределенность значения x-координаты шарика, Δx = 1,0 ⋅ 10⁻³ см; Δp _x — неопределенность значения соответствующей компоненты импульса; h — постоянная Планка, h = 6,6 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с.

Запишем неопределенность в определении импульса в виде произведения

∆p _x = m∆v _x,

где m — масса шарика, m = 1,5 мг; Δv _x — неопределенность в измерении проекции его скорости.

Подставим выражение для Δp _x в соотношение неопределенностей Гейзенберга:

∆x ⋅ m∆v _x ≥ h.

Отсюда следует, что

$Δ v_{x} \geq \frac{h}{m Δ x}$ .

Наименьшая ошибка в измерении проекции скорости шарика определяется равенством

${(Δ v_{x})}_{min} = \frac{h}{m Δ x}$ .

Расчет дает значение:

${(Δ v_{x})}_{min} = \frac{6,6 \cdot 10^{- 34}}{1,5 \cdot 10^{- 6} \cdot 1,0 \cdot 10^{- 5}} = 4,4 \cdot 10^{- 23}$ м/с.

Наименьшая ошибка, с которой можно определить скорость шарика, составляет 4,4 ⋅ 10⁻²³ м/с.

Физика