Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

13.7. Атом водорода (водородоподобный атом) по теории Бора

13.7.3. Орбиты электрона в атоме

Согласно правилу квантования орбит ( принципу Зоммерфельда) связь между энергией стационарных состояний электрона в атоме, радиусом его орбиты и скоростью на этой орбите задается формулой

mvr = nℏ,

где m — масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10⁻³¹ кг; v — скорость электрона; r — радиус орбиты электрона; ℏ — приведенная постоянная Планка, ℏ = h/2π ≈ 1,055 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; n — главное квантовое число.

Из правила квантования орбит следует, что стационарным состояниям электрона в атоме соответствуют только такие орбиты электронов, для которых выполняется условие

mv _nr _n = nℏ,

где r _n — радиус электрона на орбите с номером n; v _n — скорость электрона на орбите с номером n; m — масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10⁻³¹ кг; ℏ — приведенная постоянная Планка, ℏ = h/2π ≈ 1,055 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; n — главное квантовое число.

Радиус стационарной орбиты электрона в водородоподобном атоме определяется формулой

$r_{n} = \frac{ℏ^{2} n^{2}}{k Z e^{2} m}$ ,

где k = 1/4πε₀ ≈ 9 ⋅ 10⁹ Н ⋅ м²/Кл²; ε₀ — электрическая постоянная, ε₀ = 8,85 ⋅ 10⁻¹² Ф/м; Z — порядковый номер элемента; e — заряд электрона, e = −1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл; m — масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10⁻³¹ кг; ℏ — приведенная постоянная Планка, ℏ = h/2π ≈ 1,055 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; n — главное квантовое число.

Радиус первой орбиты электрона в атоме водорода (Z = 1 и n = 1) равен

$r_{1} = \frac{ℏ^{2}}{k e^{2} m} = 0,53 \cdot 10^{- 10}$ м

и называется первым боровским радиусом.

Для упрощения вычислений радиуса n-й орбиты электрона в водородоподобном атоме применяют формулу

$r (Å) = 0,53 \cdot \frac{n^{2}}{Z}$ ,

где r(Å) — радиус в ангстремах (1 Å = 1,0 ⋅ 10⁻¹⁰ м); Z — порядковый номер химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева; n = 1, 2, 3, … — главное квантовое число.

Скорость электрона на стационарной орбите в водородоподобном атоме определяется формулой

$v_{n} = \frac{k Z e^{2}}{n ℏ}$ ,

где k = 1/4πε₀ ≈ 9 ⋅ 10⁹ Н ⋅ м²/Кл²; ε₀ — электрическая постоянная, ε₀ = 8,85 ⋅ 10⁻¹² Ф/м; Z — порядковый номер элемента; e — заряд электрона, e = −1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл; ℏ — приведенная постоянная Планка, ℏ = = h/2π ≈ 1,055 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10⁻³⁴ Дж ⋅ с; n — главное квантовое число.

Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода (Z = 1 и n = 1) равна

$v_{n} = \frac{k e^{2}}{ℏ} = 2,2 \cdot 10^{6}$ м/с.

Для упрощения вычислений величины скорости электрона на n-й орбите в водородоподобном атоме применяют формулу

$v (м/с) = 2,2 \cdot 10^{6} \cdot \frac{Z}{n}$ ,

где v (м/с) — модуль скорости в м/с; Z — порядковый номер химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева; n = 1, 2, 3, … — главное квантовое число.

Пример 21. Электрон в атоме гелия переходит с первой орбиты на орбиту, радиус которой в 9 раз больше. Найти энергию, поглощенную атомом.

Решение. Энергия, поглощенная атомом гелия, равна разности энергий:

∆E = E ₂ − E ₁,

где E ₁ — энергия электрона, соответствующая радиусу орбиты r ₁; E ₂ — энергия электрона, соответствующая радиусу орбиты r ₂.

Энергии электрона в атоме гелия (Z = 2) определяются следующими формулами:

в состоянии с главным квантовым числом n ₁ = 1 —

$E_{1} (эВ) = - \frac{13,6 Z^{2}}{n_{1}^{2}} = - 54,4 эВ$ ;

состоянии с главным квантовым числом n ₂ —

$E_{2} (эВ) = - \frac{54,4}{n_{2}^{2}}$ .

Для определения энергии E ₂ воспользуемся выражением для радиусов соответствующих орбит:

для орбиты с главным квантовым числом n ₁ = 1 —

$r_{1} (Å) \approx \frac{0,53 n_{1}^{2}}{Z} = 0,265 Å$ ;

орбиты с главным квантовым числом n ₂ —

$r_{2} (Å) \approx 0,265 n_{2}^{2}$ .

Отношение радиусов

$\frac{r_{2} (Å)}{r_{1} (Å)} = \frac{0,265 n_{2}^{2}}{0,265} = n_{2}^{2}$

позволяет определить главное квантовое число второго состояния:

$n_{2} = \sqrt{\frac{r_{2} (Å)}{r_{1} (Å)}} = \sqrt{9} = 3$ ,

где r ₂/r ₁ — заданное в условии отношение радиусов орбит, r ₂/r ₁ = 9.

Из отношения энергий

$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{1}{n_{2}^{2}}$

следует, что энергия электрона в атоме гелия во втором состоянии

$E_{2} = \frac{E_{1}}{n_{2}^{2}} = \frac{- 54,4 эВ}{3^{2}} = - 6,04 эВ$ .

Энергия, поглощенная атомом при указанном переходе, является разностью

∆E = E ₂ − E ₁ = −6,04 − (−54,4) = 48,4 эВ.

Следовательно, при указанном переходе атом поглотил энергию, равную 48,4 эВ.

Физика