Физика

Пример 15. Во сколько раз скорость ядра, получившегося при α-распаде покоящегося урана-235, меньше скорости α-частицы? Считать, что отношение масс ядер в атомных единицах равно отношению их массовых чисел.

Решение. Реакция α-распада урана-235 идет по схеме

${}_{Z_1}{}^{235}\text{U}\to {}_{Z_2}{}^{A_2}\text{X}+{}_2{}^4\alpha$,

где A ₁ и Z ₁ — массовое и зарядовое числа покоящегося ядра урана соответственно, A ₁ = 235; A ₂ и Z ₂ — массовое и зарядовое числа ядра (элемента X), получившегося в результате α-распада соответственно; A _α и Z _α — массовое и зарядовое числа вылетевшей α-частицы соответственно, A _α = 4 и Z _α = 2.

Массовое число элемента Х найдем из закона сохранения массового числа:

A ₂ = 235 − 4 = 231.

При радиоактивных превращениях суммарный импульс ядер и частиц, вступающих в ядерную реакцию, после реакции сохраняется неизменным:

${\overrightarrow{p}}_1={\overrightarrow{p}}_2$,

где ${\overrightarrow{p}}_1$ — импульс покоящегося ядра урана до распада, ${\overrightarrow{p}}_1=0$; ${\overrightarrow{p}}_2$ — суммарный импульс ядра, получившегося в результате распада, и импульс вылетевшей α-частицы.

Из закона сохранения импульса следует, что суммарный импульс ядра, получившегося в результате распада, и вылетевшей α-частицы равен нулю:

${\overrightarrow{p}}_2={\overrightarrow{p}}_{\text{X}}+{\overrightarrow{p}}_{\alpha }$,

где ${\overrightarrow{p}}_{\text{X}}=m_{\text{X}}{\overrightarrow{v}}_{\text{X}}$ — импульс элемента X; ${\overrightarrow{p}}_{\alpha }$ — импульс α-частицы, ${\overrightarrow{p}}_{\alpha }=m_{\alpha }{\overrightarrow{v}}_{\alpha }$; m _X и m _α — массы элемента Х и α-частицы соответственно; ${\overrightarrow{v}}_{\text{X}}$ и ${\overrightarrow{v}}_{\alpha }$ — скорости элемента Х и α-частицы соответственно.

Запишем закон сохранения импульса в явном виде:

$m_{\text{X}}{\overrightarrow{v}}_{\text{X}}+m_{\alpha }{\overrightarrow{v}}_{\alpha }=0$.

Скорость ядра ${\overrightarrow{v}}_{\text{X}}$ направлена в сторону, противоположную скорости α-частицы, поэтому

m _Xv _X − m _αv _α = 0.

Отсюда следует, что искомое отношение скоростей определяется равенством

$\frac{v_{\alpha }}{v_X}=\frac{m_X}{m_{\alpha }}$.

Выполнив замену

$\frac{m_X}{m_{\alpha }}=\frac{A_2}{A_{\alpha }}$,

получим

$\frac{v_{\alpha }}{v_X}=\frac{A_2}{A_{\alpha }}=\frac{231}{4}=58$.

Скорость α-частицы в 58 раз превышает скорость ядра, образовавшегося в результате α-распада.