Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

13.4. Атомное ядро

13.4.2. Дефект массы. Энергия связи нуклонов в ядре

Масса нуклонов, составляющих ядро, превышает массу ядра. При образовании некоторого ядра из нуклонов выделяется достаточно большая энергия. Это происходит за счет того, что часть массы нуклонов превращается в энергию.

Чтобы «разбить» ядро на отдельные нуклоны, необходимо затратить такое же количество энергии. Именно это обстоятельство обусловливает стабильность большинства встречающихся в природе ядер.

Дефект массы — разность между массой всех нуклонов, образующих ядро, и массой ядра:

∆m = M _N − m _яд,

где M _N — масса всех нуклонов, входящих в состав ядра; m _яд — масса ядра.

В явном виде формула для расчета дефекта массы выглядит следующим образом:

∆m = Zm _p + (A − Z)m _n − m _яд,

где Z — зарядовое число ядра (количество протонов в ядре); m _p — масса протона; (A − Z) — количество нейтронов в ядре; A — массовое число ядра; m _n — масса нейтрона.

Массы протона и нейтрона являются справочными величинами.

В Международной системе единиц масса измеряется в килограммах (1 кг), но для удобства массы протона и нейтрона часто задают как в единицах массы — атомных единицах массы (а.е.м.), так и в единицах энергии — мегаэлектронвольтах (МэВ).

Для перевода масс протона и нейтрона в килограммы необходимо:

значение массы, заданное в а.е.м., подставить в формулу

m (а.е.м) ⋅ 1,66057 ⋅ 10⁻²⁷ = m (кг);

значение массы, заданное в МэВ, подставить в формулу

$\frac{m (МэВ) \cdot | e | \cdot 10^{6}}{c^{2}} = m (кг)$ ,

где |e| — элементарный заряд, |e| = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл; c — скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10⁸ м/с.

Значения масс протона и нейтрона в указанных единицах представлены в таблице.

Частица	Масса
Частица	кг	а.е.м.	МэВ
Протон	1,67262 ⋅ 10⁻²⁷	1,00728	938,28
Нейтрон	1,67493 ⋅ 10⁻²⁷	1,00866	939,57

Дефект массы позволяет рассчитать энергию связи нуклонов в ядре — минимальную энергию, необходимую для полного расщепления ядра на отдельные нуклоны.

Энергия, равная энергии связи нуклонов в ядре E _св, выделяется при образовании ядра из отдельных нуклонов и связана с дефектом массы формулой

E _св = ∆mc ²,

где E _св — энергия связи нуклонов в ядре; Δm — дефект массы; c — скорость света в вакууме, c = 3,0 ⋅ 10⁸ м/с.

В явном виде формула для расчета энергии связи нуклонов в ядре выглядит следующим образом:

$E_{св} = (Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - m_{яд}) \cdot с^{2}$ ,

где Z — зарядовое число; m _p — масса протона; A — массовое число; m _n — масса нейтрона; m _яд — масса ядра.

Благодаря наличию энергии связи атомные ядра являются стабильными.

Строго говоря, энергия связи нуклонов в ядре является отрицательной величиной, так как именно этой энергии не хватает ядру, чтобы разделиться на отдельные нуклоны. Однако при решении задач принято говорить о величине энергии связи, равной ее модулю, т.е. о положительной величине.

Для характеристики прочности ядра используют удельную энергию связи — энергию связи, приходящуюся на один нуклон:

$E_{св}^{уд} = \frac{E_{св}}{A}$ ,

где A — массовое число (совпадает c числом нуклонов в ядре).

Чем меньше удельная энергия связи, тем менее прочным является ядро.

Элементы, находящиеся в конце таблицы Д.И. Менделеева, имеют малую энергию связи, поэтому они обладают свойством радиоактивности. Они могут самопроизвольно распадаться с образованием новых элементов.

Энергия связи в Международной системе единиц измеряется в джоулях (1 Дж). Однако в задачах часто требуется получить энергию связи в мегаэлектронвольтах (МэВ).

Расчет энергии связи в МэВ можно осуществить двумя способами:

1) в формулу для расчета энергии связи подставить значения всех масс в килограммах, значение энергии связи получить сначала в джоулях:

$E_{св} (Дж) = (Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - m_{яд}) \cdot с^{2}$ ,

где m _p, m _n, m _яд — массы протона, нейтрона и ядра в килограммах; затем перевести джоули в мегаэлектронвольты, воспользовавшись формулой

$E_{св} (МэВ) = \frac{E_{св} (Дж)}{| e | \cdot 10^{6}}$ ,

где |e| — элементарный заряд, |e| = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл;

2) в формулу для расчета дефекта массы подставить значения всех масс в атомных единицах массы, значение дефекта массы получить также в атомных единицах массы:

$Δ m (а . е . м .) = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - m_{яд}$ ,

где m _p, m _n, m _яд — массы протона, нейтрона и ядра в атомных единицах массы; затем результат умножить на 931,5:

$E_{св} (МэВ) = Δ m (а . е . м .) \cdot 931,5$ .

Пример 11. Массы покоя протона и нейтрона равны 1,00728 а.е.м. и 1,00866 а.е.м. соответственно. Ядро изотопа гелия ${}_{2}^{3}H e$ обладает массой 3,01603 а.е.м. Найти величину удельной энергии связи нуклонов в ядре указанного изотопа.

Решение. Энергия, равная энергии связи нуклонов в ядре, выделяется при образовании ядра из отдельных нуклонов и связана с дефектом массы формулой

E _св = ∆mc ²,

где Δm — дефект массы; c — скорость света в вакууме, c = 3,00 ⋅ 10⁸ м/с.

Дефект массы — разность между массой всех нуклонов, образующих ядро, и массой ядра:

∆m = M _N − m _яд,

где M _N — масса всех нуклонов, входящих в состав ядра; m _яд — масса ядра.

Масса всех нуклонов, входящих в состав ядра, складывается:

из массы всех протонов —

M _p = Zm _p,

где Z — зарядовое число изотопа гелия, Z = 2; m _p — масса протона;

из массы всех нейтронов —

M _n = (A − Z)m _n,

где A — массовое число изотопа гелия, A = 3; m _n — масса нейтрона.

Следовательно, в явном виде формула для расчета дефекта массы выглядит следующим образом:

$Δ m = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - m_{яд}$ ,

а формула для расчета энергии связи нуклонов в ядре —

$E_{св} = (Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - m_{яд}) \cdot с^{2}$ .

Для того чтобы получить энергию связи в МэВ, можно в записанную формулу подставить массы протона, нейтрона и ядра в а.е.м. и воспользоваться эквивалентностью массы и энергии (1 а.е.м. эквивалентна 931,5 МэВ), т.е. расчет произвести по формуле

$E_{св} (МэВ) = (Z m_{p} (а . е . м .) + (A - Z) m_{n} (а . е . м .) - m_{яд} (а . е . м .)) \cdot 931,5$ .

Вычисление дает значение энергии связи нуклонов в ядре изотопа гелия:

$E_{св} (МэВ) = (2 \cdot 1,00728 + (3 - 2) \cdot 1,00866 - 3,01603) \cdot 931,5 = 6,700 МэВ$ .

Удельная энергия связи (энергия связи, приходящаяся на один нуклон) представляет собой отношение

$E_{св}^{уд} = \frac{E_{св}}{A}$ ,

где A — число нуклонов в ядре указанного изотопа (массовое число), A = 3.

Вычислим:

$E_{св}^{уд} = \frac{6,70}{3} = 2,23$ МэВ/нуклон.

Удельная энергия связи нуклонов в ядре изотопа гелия ${}_{2}^{3}H e$ равна 2,23 МэВ/нуклон.

Физика