Физика

Пример 28. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра второго, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения узкого сосуда равна 10 см². Система заполнена некоторым количеством жидкости плотностью 1,6 г/см³. Найти, на сколько миллиметров повысится уровень жидкости в каждом из сосудов, если в систему добавить 0,12 кг той же жидкости.

Решение. В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне.

Добавление в систему некоторого количества жидкости массой m приводит к ее распределению по двум сосудам в соответствии с площадью их поперечного сечения:

• в первом сосуде оказывается масса жидкости

m₁ = ρV₁ = ρ∆h₁S₁,

где ρ — плотность жидкости; V₁ = S₁∆h₁ — объем жидкости в первом сосуде; S₁ — площадь поперечного сечения первого сосуда; ∆h₁ — повышение уровня жидкости в первом сосуде;

• во втором сосуде оказывается масса жидкости

m₂ = ρV₂ = ρ∆h₂S₂,

где V₂ = S₂∆h₂ — объем жидкости во втором сосуде; S₂ — площадь поперечного сечения второго сосуда; ∆h₂ — повышение уровня жидкости во втором сосуде.

Повышение уровней жидкости в обоих сосудах одинаково:

∆h₁ = ∆h₂ = ∆h,

поэтому масса жидкости, добавленной в систему, определяется формулой

m = m₁ + m₂ = ρ∆h(S₁ + S₂).

Выразим отсюда искомое значение ∆h:

$\Delta h=\frac{m}{\rho (S_1+S_2)}$.

Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:

• для первого (широкого) сосуда

$S_1=\frac{\pi d_1^2}{4}$,

• для второго (узкого) сосуда

$S_2=\frac{\pi d_2^2}{4}$,

где d₁ = 2d₂ — диаметр первого (широкого) сосуда; d₂ — диаметр второго (узкого) сосуда.

Отношение площадей

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi d_1^2}{4}\frac{4}{\pi d_2^2}=\frac{d_1^2}{d_2^2}={\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^2={\left(\frac{2d_2}{d_2}\right)}^2=4$

позволяет найти площадь широкого сосуда:

S₁ = 4S₂.

Подставив S₁ в формулу для ∆h

$\Delta h=\frac{m}{\rho (4S_2+S_2)}=\frac{m}{5\rho S_2}$,

рассчитаем значение высоты, на которую повысится уровень жидкости в сосудах:

$\Delta h=\frac{\mathrm{0,12}}{5\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^3\cdot 10\cdot {10}^{-4}}=15\cdot {10}^{-3}\text{ м}=15$ мм.

Пример 29. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра другого, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения широкого сосуда составляет 10 см². Система заполнена жидкостью плотностью 6,0 г/см³. В узкий сосуд добавляют 0,12 кг жидкости плотностью 2,0 г/см³, а затем — 0,12 кг жидкости плотностью 4,0 г/см³. Найти разность уровней жидкостей в сосудах.

Решение. В сообщающихся сосудах неоднородная жидкость устанавливается на разных уровнях таким образом, что гидростатическое давление на выбранном уровне оказывается одинаковым:

p₁ = p₂,

где p₁ — давление в широком сосуде; p₂ — давление в узком сосуде.

На рисунке пунктирной линией обозначен уровень, на котором будем рассчитывать гидростатическое давление в широком и узком сосудах.

Гидростатическое давление на выбранном уровне:

• в широком сосуде

p₁ = ρ₁gh₁,

где ρ₁ — плотность жидкости, заполняющей систему изначально; g — модуль ускорения свободного падения; h₁ — высота столба жидкости в широком сосуде;

• в узком сосуде

p₂ = ρ₂gh₂ + ρ₃gh₃,

где ρ₂ — плотность первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; h₂ — высота столба первой жидкости; ρ₃ — плотность второй жидкости, добавленной в узкий сосуд; h₃ — высота столба второй жидкости.

Равенство давлений на указанном уровне

ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂ + ρ₃gh₃

позволяет определить высоту столба жидкости в широком сосуде:

$h_1=\frac{1}{{\rho }_1}({\rho }_2{h}_2+{\rho }_3{h}_3)$,

где высоты жидкостей h₂ и h₃ определяются соответствующими массами и плотностями:

• для первой жидкости

$h_2=\frac{m_2}{{\rho }_2{S}_2}$;

• для второй жидкости

$h_3=\frac{m_3}{{\rho }_3{S}_2}$,

где S₂ — площадь поперечного сечения узкого сосуда; m₂ — масса первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; m₃ — масса второй жидкости, добавленной в узкий сосуд.

Подстановка h₂ и h₃ в формулу для h₁ дает

$h_1=\frac{1}{{\rho }_1}\left(\frac{{\rho }_2{m}_2}{{\rho }_2{S}_2}+\frac{{\rho }_3{m}_3}{{\rho }_3{S}_2}\right)=\frac{m_2+m_3}{{\rho }_1{\text{S}}_2}$.

Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:

• для широкого сосуда

$S_1=\frac{\pi d_1^2}{4}$,

• для узкого сосуда

$S_2=\frac{\pi d_2^2}{4}$,

где d₁ = 2d₂ — диаметр широкого сосуда; d₂ — диаметр узкого сосуда.

Отношение площадей

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi d_1^2}{4}\frac{4}{\pi d_2^2}=\frac{d_1^2}{d_2^2}={\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^2={\left(\frac{2d_2}{d_2}\right)}^2=4$

позволяет найти площадь узкого сосуда:

$S_2=\frac{S_1}{4}$.

Таким образом, высота столба жидкости в широком сосуде определяется выражением

$h_1=\frac{4(m_2+m_3)}{{\rho }_1{S}_1}$.

Высота столба жидкости над указанным уровнем в узком сосуде есть сумма:

$h_2+h_3=\frac{m_2}{{\rho }_2{S}_2}+\frac{m_3}{{\rho }_3{S}_2}=\frac{4}{S_1}\left(\frac{m_2}{{\rho }_2}+\frac{m_3}{{\rho }_3}\right)$.

Искомая разность верхних уровней жидкостей в узком (h₂ + h₃) и широком h₁ сосудах рассчитывается по формуле

$\Delta h=(h_2+h_3)-h_1=\frac{4}{S_1}\left(\frac{m_2}{{\rho }_2}+\frac{m_3}{{\rho }_3}\right)-\frac{4(m_2+m_3)}{{\rho }_1{S}_1}=$

$=\frac{4}{S_1}\left(\frac{m_2}{{\rho }_2}+\frac{m_3}{{\rho }_3}-\frac{(m_2+m_3)}{{\rho }_1}\right)$.

Произведем вычисление:

$\Delta h=\frac{4}{10\cdot {10}^{-4}}\left(\frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{2,0}\cdot {10}^3}+\frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{4,0}\cdot {10}^3}-\frac{\mathrm{0,12}+\mathrm{0,12}}{\mathrm{6,0}\cdot {10}^3}\right)=\mathrm{0,20}\text{ м}=20$ см.