Физика

Пример 4. Тетива лука в месте контакта со стрелой образует угол 90°. Найти модуль силы натяжения тетивы, если лучник тянет стрелу с силой 794 Н. Стрела расположена симметрично относительно лука.

Решение. Силы, действующие на стрелу со стороны лучника и тетивы, и выбранная система координат показаны на рисунке.

Стрела находится в равновесии в том случае, когда векторная сумма сил, действующих на нее, равна нулю:

$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}+{\overrightarrow{T}}^{\prime }=0$,

или в проекциях на координатные оси:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }{T}^{\prime }\cos 45°+T\cos 45°-F=0;\\ Oy\text{: }{T}^{\prime }\sin 45°-T\sin 45°=\mathrm{0,}\end{array}\}$

где F — модуль силы, действующей на стрелу со стороны лучника; T — модуль силы натяжения, действующей на стрелу со стороны нижней части тетивы; T′ — модуль силы натяжения, действующей на стрелу со стороны верхней части тетивы.

Натяжение тетивы лука по обе стороны от стрелы одинаково, т.е. модули сил натяжения, действующие на стрелу со стороны нижней и верхней частей тетивы, одинаковы:

T′ = T.

С учетом указанного обстоятельства система уравнений принимает вид:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }2T\cos 45°-F=0;\\ Oy\text{: }T\sin 45°-T\sin 45°=\mathrm{0,}\end{array}\}$

а ее первое уравнение позволяет найти модуль силы натяжения тетивы:

$T=\frac{F}{2\cos 45°}=\frac{794}{2\cdot \mathrm{0,5}\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\approx 560$ Н.

Пример 5. Тело массой 2,7 кг висит на невесомой нерастяжимой нити. Под действием горизонтальной силы 27 Н нить отклоняется на некоторый угол от вертикали. Найти натяжение нити в новом положении равновесия.

Решение. Силы, действующие на тело, и выбранная система координат показаны на рисунке.

Тело находится в равновесии в том случае, когда векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю:

$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}+m\overrightarrow{g}=0$,

или в проекциях на координатные оси:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }F-T\sin \alpha =0;\\ Oy\text{: }T\cos \alpha -mg=\mathrm{0,}\end{array}\}$

где F — модуль горизонтальной силы; T — модуль силы натяжения, действующей на тело со стороны нити; mg — модуль силы тяжести; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; α — угол отклонения нити от вертикали.

Для определения величины силы натяжения нити в новом положении равновесия исключим из системы уравнений угол, преобразовав систему следующим образом:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }T\sin \alpha =F;\\ Oy\text{: }T\cos \alpha =mg,\end{array}\}$

возведя каждое из уравнений в квадрат:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }{\left(}^T=F^2;\\ Oy\text{: }{\left(}^T={\left(}^m\end{array}\}$

и сложив уравнения

${\left(T\sin \alpha \right)}^2+{\left(T\cos \alpha \right)}^2=F^2+{\left(mg\right)}^2$.

Несложные преобразования с использованием равенства

sin²α + cos²α = 1

дают

$T^2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=F^2+{\left(mg\right)}^2$.

т.е.

T² = F² + (mg)².

Отсюда для вычисления величины искомой силы натяжения нити получим формулу

$T=\sqrt{F^2+{\left(mg\right)}^2}$.

Произведем вычисление:

$T=\sqrt{{27}^2+{(\mathrm{2,7}\cdot 10)}^2}\approx 38$ Н.

Пример 6. Невесомый эластичный шнур длиной 1,0 м подвешен за концы горизонтально и находится в нерастянутом состоянии. Когда к середине шнура подвесили груз массой 2,6 кг, длина шнура увеличилась вдвое. Найти коэффициент упругости шнура.

Решение. Силы, действующие на середину шнура, и выбранная система координат показаны на рисунке.

Середина шнура находится в равновесии в том случае, когда векторная сумма сил, действующих на нее, равна нулю:

$\overrightarrow{P}+{\overrightarrow{F}}_{\text{упр}}+{{\overrightarrow{F}}^{\prime }}_{\text{упр}}=0$,

или в проекциях на координатные оси:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }{F}_{\text{упр}}\cos \alpha -{F^{\prime }}_{\text{упр}}\cos \alpha =0;\\ Oy\text{: }{F}_{\text{упр}}\sin \alpha +{F^{\prime }}_{\text{упр}}\sin \alpha -mg=\mathrm{0,}\end{array}\}$

где P = mg — модуль веса груза; m — масса груза; g — модуль ускорения свободного падения; F_упр — модуль силы упругости, действующей на середину шнура со стороны его правой половины; ${F^{\prime }}_{\text{упр}}$ — модуль силы упругости, действующей на середину шнура со стороны его левой половины; α — угол, показанный на рисунке.

Силы упругости, действующие на середину шнура со стороны его левой и правой половин, одинаковы по величине:

${F^{\prime }}_{\text{упр}}=F_{\text{упр}}$,

где F_упр = k∆l — модуль силы упругости, возникающей в шнуре при его деформации, k — коэффициент упругости шнура, ∆l — деформация растяжения шнура.

С учетом указанного обстоятельства система уравнений принимает вид:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }k\Delta l\cos \alpha -k\Delta l\cos \alpha =0;\\ Oy\text{: }2k\Delta l\sin \alpha -mg=\mathrm{0,}\end{array}\}$

а ее второе уравнение позволяет выразить искомый коэффициент упругости:

$k=\frac{mg}{2\Delta l\sin \alpha }$.

Для расчета коэффициента упругости шнура по данной формуле необходимо определить:

• деформацию растяжения шнура ∆l;
• угол α, который образует шнур с осью Ox.

Для определения деформации шнура учтем, что его длина удваивается под воздействием груза (l = 2l₀):

∆l = l − l₀ = 2l₀ − l₀ = l₀,

где l₀ — первоначальная длина недеформированного шнура; l — длина шнура, деформированного весом подвешенного к нему груза.

Нерастянутый и растянутый шнуры образуют правильный треугольник, показанный на рисунке. Поэтому угол, который образует шнур с осью Ox, равен

α = 60°.

С учетом значений ∆l и α формула для расчета коэффициента упругости принимает вид:

$k=\frac{mg}{2l_0\sin 60°}$,

а вычисление дает его значение:

$k=\frac{\mathrm{2,6}\cdot 10}{2\cdot \mathrm{1,0}\cdot \mathrm{0,5}\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\approx 15$ Н/м.

Пример 7. Однородный шарик диаметром 10 мм и плотностью 8,0 г/см³ заряжен и помещен в масло плотностью 0,8 г/см³. Когда включили электростатическое поле, направленное вертикально вверх, шарик оказался взвешенным в масле. Определить напряженность электростатического поля, если заряд шарика составляет 3,4 мкКл, а диэлектрическая проницаемость масла равна 3,8.

Решение. Силы, действующие на шарик, и координатная ось показаны на рисунке.

Шарик оказывается взвешенным в масле, т.е. находится в равновесии, если векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю:

${\overrightarrow{F}}_{\text{кул}}+{\overrightarrow{F}}_{\text{A}}+m\overrightarrow{g}=0$,

или в проекции на координатную ось Oy:

Oy: mg − F_кул − F_A = 0,

где F_кул = qE — модуль кулоновской силы (силы взаимодействия заряда и электростатического поля); q — заряд шарика; E — напряженность электростатического поля в масле; F_A = ρ₀gV — модуль силы Архимеда; ρ₀ — плотность масла; g — модуль ускорения свободного падения; V — объем шарика; m = ρV — масса шарика; ρ — плотность материала, из которого изготовлен шарик.

С учетом выражений для кулоновской силы, силы Архимеда и массы шарика условие равновесия шарика приобретает вид:

qE + ρ₀gV − ρVg = 0.

Выразим отсюда модуль напряженности электростатического поля в масле:

$E=\frac{(\rho -{\rho }_0)gV}{q}$.

Однако среда (масло) уменьшает величину напряженности электростатического поля в ε раз:

$E=\frac{E_0}{\epsilon }$,

где E₀ — величина напряженности электростатического поля в вакууме; ε — диэлектрическая проницаемость среды (масла).

Таким образом, величина напряженности включенного поля в ε раз больше величины напряженности электростатического поля в масле:

$E_0=\frac{(\rho -{\rho }_0)gV\epsilon }{q}$.

Для вычисления величины напряженности электростатического поля необходимо выразить объем шарика через его диаметр:

$V=\frac{\pi d^3}{6}$,

где d — диаметр шарика.

Подставим данную формулу в выражение для расчета E₀:

$E_0=\frac{(\rho -{\rho }_0)\pi \epsilon g{d}^3}{6q}$

и произведем вычисление:

$E_0=\frac{(\mathrm{8,0}-\mathrm{0,8})\cdot {10}^3\cdot \mathrm{3,14}\cdot \mathrm{3,8}\cdot 10\cdot {(10\cdot {10}^{-3})}^3}{6\cdot \mathrm{3,4}\cdot {10}^{-6}}\approx$

$\approx 42\cdot {10}^3\text{ В/м}=42\text{ кВ/м}$.

Пример 8. Тело массой 2,5 кг покоится на наклонной плоскости с углом при основании 45°, если на него действует прижимающая сила, равная 25 Н и направленная горизонтально. Определить модуль силы трения, действующей на данное тело со стороны наклонной плоскости.

Решение. Силы, действующие на тело, и выбранная система координат показаны на рисунке.

Тело находится в равновесии в том случае, когда векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю:

$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_{\text{тр}}=\mathrm{0,}$

или в проекциях на координатные оси:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }F\cos \alpha -mg\sin \alpha +F_{\text{тр}}=0;\\ Oy\text{: }-F\sin \alpha +N-mg\cos \alpha =\mathrm{0,}\end{array}\}$

где F — модуль горизонтальной силы; N — модуль силы нормальной реакции опоры, действующей на тело со стороны наклонной плоскости; mg — модуль силы тяжести; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; F_тр— модуль силы трения покоя; α — угол наклона плоскости к горизонту.

Величина силы трения покоя определяется силами, которые стремятся вывести тело из положения равновесия. Модули указанных сил связаны с величиной силы трения первым уравнением системы, из которого следует, что модуль искомой силы трения определяется формулой

$F_{\text{тр}}=mg\sin 45°-F\cos 45°$.

Произведем расчет:

$F_{\text{тр}}=\mathrm{2,5}\cdot 10\cdot \mathrm{0,5}\sqrt{2}-25\cdot \mathrm{0,5}\sqrt{2}=0$.

Оказывается, что на тело заданной массы при указанной величине прижимающей силы сила трения не действует.

Пример 9. Брусок массой 2,7 кг удерживается на наклонной плоскости с углом при основании 60° с помощью силы, направленной вдоль наклонной плоскости. Определить минимальное значение удерживающей силы, если коэффициент трения скольжения бруска о плоскость равен 0,25.

Решение. Силы, действующие на тело, и выбранная система координат показаны на рисунке.

Тело находится в равновесии в том случае, когда векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю:

$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_{\text{тр}}^{\text{max}}=0$,

или в проекциях на координатные оси:

$\begin{array}{l}Ox\text{: }F-mg\sin \alpha +F_{\text{тр}}^{\text{max}}=0;\\ Oy\text{: }N-mg\cos \alpha =\mathrm{0,}\end{array}\}$

где F — модуль силы, направленной вдоль наклонной плоскости; N — модуль силы нормальной реакции опоры, действующей на тело со стороны наклонной плоскости; mg — модуль силы тяжести; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; $F_{\text{тр}}^{\text{max}}$ — модуль максимальной силы трения покоя; α — угол наклона плоскости к горизонту.

Величина максимальной силы трения покоя совпадает с величиной силы трения скольжения и определяется формулой

$F_{\text{тр}}^{\text{max}}=\mu N$.

Из второго уравнения системы выразим N:

N = mg cos α

и подставим в записанную формулу для максимальной силы трения покоя:

$F_{\text{тр}}^{\text{max}}=\mu mg\cos \alpha$.

Подстановка данного равенства в первую формулу позволяет найти минимальное значение силы, приложенной к телу вдоль наклонной плоскости:

$F=mg\sin \alpha -F_{\text{тр}}^{\text{max}}=mg\sin \alpha -\mu mg\cos \alpha =mg(\text{sin}\alpha -\mu \cos \alpha )$.

Вычислим ее величину:

$F=\mathrm{2,7}\cdot 10\cdot \left(\mathrm{0,5}\sqrt{3}-\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,5}\right)\approx 20$ Н.