Предметы

Физика

Элементы статики и гидростатики

4.1. Элементы статики

4.1.2. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек (абсолютно твердого тела)

Теория Тренинг

Физика

Общий тест

4.1. Элементы статики

4.1.2. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек (абсолютно твердого тела)

В однородном поле тяготения понятия «центр тяжести» и «центр масс» совпадают.

Центр тяжести (центр масс) — это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на каждую из точек системы (абсолютно твердого тела), т.е. точка, в которой как бы сосредоточена масса всей системы (тела).

Координаты (X_C, Y_C) центра тяжести (центра масс) системы материальных точек (рис. 4.1) рассчитывают по формулам

$X_{C} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + ... + m_{N} x_{N}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{N}}$ ;

$Y_{C} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + ... + m_{N} y_{N}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{N}}$ ,

где (x₁, y₁) — координаты материальной точки массой m₁; (x₂, y₂) — координаты материальной точки массой m₂ и т.д.

Рис. 4.1

Центр тяжести (центр масс) абсолютно твердого тела правильной формы находится в геометрическом центре этого тела.

Например, центр масс однородного круга находится в центре круга, а центр масс однородного прямоугольника — в точке пересечения его диагоналей.

Если абсолютно твердое тело имеет неправильную форму (или несимметричное распределение массы), но может быть разбито на тела правильной формы (с симметричным распределением массы), то пользуются следующим алгоритмом:

1) разбивают тело неправильной формы на несколько тел правильной формы с массами m₁, m₂, ..., m_N;

2) записывают координаты центра масс каждого из тел:

(x₁, y₁) — для центра тяжести тела массой m₁,

(x₂, y₂) — для центра тяжести тела массой m₂,

...,

(x_N, y_N) — для центра тяжести тела массой m_N;

3) рассчитывают координаты центра тяжести исходного тела, подставляя полученные значения в формулы

$X_{C} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + ... + m_{N} x_{N}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{N}}$ ,

$Y_{C} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + ... + m_{N} y_{N}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{N}}$ .

Если в условии задачи отсутствуют массы тел, но задана плотность, то массы рассчитываются по формулам:

для трехмерной фигуры (тела)

m = ρV,

где ρ — плотность; V — объем фигуры;

для двумерной фигуры (тела)

m = ρS,

где S — площадь фигуры;

для одномерной фигуры (тела)

m = ρl,

где l — длина фигуры.

Если необходимо рассчитать центр тяжести «правильной» фигуры с вырезами правильной формы, то пользуются следующим алгоритмом:

1) разбивают тело с вырезами на несколько тел, первое из которых является телом правильной формы без вырезов; вырезы также представляют собой тела правильной формы;

2) записывают координаты центра масс каждого из тел:

координаты центра тяжести первого сплошного тела (без вырезов) — (x₁, y₁);
координаты центров тяжести вырезов: (x₂, y₂), ..., (x_N, y_N);

3) рассчитывают массы каждого из тел:

масса первого сплошного тела (без вырезов)

m₁ = ρV₁;

массы вырезов:

m₂ = ρ′V₂, ..., m_N = ρ′V_N,

где ρ — плотность первого (сплошного) тела; ρ′ = −ρ — плотность вырезов (при расчетах считается отрицательной);

4) рассчитывают координаты центра тяжести тела с вырезами, подставляя полученные значения в формулы

$X_{C} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + ... + m_{N} x_{N}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{N}}$ ,

$Y_{C} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + ... + m_{N} y_{N}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{N}}$ .

Центр тяжести (центр масс) абсолютно твердого тела обладает следующим свойством: если тело закрепить в центре тяжести (центре масс), то оно будет находиться в состоянии равновесия.

Пример 1. Две точечные массы 1,0 кг и 5,0 кг соединены невесомым стержнем длиной 6,0 м. Определить расстояние от центра тяжести системы до меньшей массы.

Решение. На рисунке показан стержень с точечными массами m₁ и m₂, закрепленными на его концах, в выбранной системе координат. Стержень расположен горизонтально вдоль координатной оси Ox. Начало координат совпадает с положением меньшей массы m₁.

Конфигурация расположения масс является линейной. Расстояние от меньшей массы до центра тяжести конструкции совпадает с x-координатой центра тяжести и задается формулой

$X_{С} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ,

где x₁ — координата точечной массы m₁; x₂ — координата точечной массы m₂.

Запишем координаты точечных масс:

для массы m₁ = 1,0 кг

x₁ = 0;

для массы m₂ = 5,0 кг

x₂ = 6,0 м.

Рассчитаем x-координату центра тяжести конструкции:

$X_{С} = \frac{1,0 \cdot 0 + 5,0 \cdot 6,0}{1,0 + 5,0} = 5,0$ м.

Таким образом, расстояние от меньшей массы до центра тяжести конструкции составляет 5,0 м.

Пример 2. На длинной невесомой нити, нижний конец которой касается пола, закреплены две бусинки массами 5,0 г и 15 г. Первая бусинка расположена на высоте 12 см над поверхностью пола, а вторая — на высоте 48 см. На какой высоте над поверхностью пола расположен центр тяжести системы?

Решение. На рисунке показаны бусинки с массами m₁ и m₂ в выбранной системе координат. Нить расположена вертикально вдоль координатной оси Oy. Начало координат совпадает с поверхностью пола.

Конфигурация расположения масс является линейной. Высота от поверхности пола до центра тяжести системы совпадает с y-координатой центра тяжести и задается формулой

$Y_{C} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ,

где y₁ = h₁ — координата первой бусинки массой m₁; y₂ = h₂ — координата второй бусинки массой m₂.

Запишем координаты бусинок:

для первой бусинки массой m₁ = 5,0 г

y₁ = 12 см;

для второй бусинки массой m₂ = 15 г

y₂ = 48 см.

Рассчитаем y-координату центра тяжести системы:

$Y_{C} = \frac{5,0 \cdot 0,12 + 15 \cdot 0,48}{5,0 + 15} = 0,39 м = 39$ см.

Таким образом, высота от поверхности пола до центра тяжести системы составляет 39 см.

Пример 3. Определить положение центра тяжести диска, в котором сделаны два круговых выреза. Радиусы круговых вырезов равны половине и четверти радиуса диска. Центры вырезов находятся на линии одного из диаметров диска по разные стороны от его центра. Расстояния от центра диска до центров каждого из вырезов равны половине радиуса диска. Радиус диска равен 44 см.

Решение. На рисунке показан диск с вырезами, радиусы которых равны R/2 и R/4, в выбранной системе координат. Начало координат совпадает с центром диска, центры вырезов расположены на оси Ox по обе стороны от центра.

Произведем расчет положения центра тяжести диска с вырезами по алгоритму.

1. Рассмотрим диск и вырезы как несколько фигур правильной формы.

Диск и вырезы являются фигурами правильной формы; центры фигур (кругов) совпадают с центрами их тяжести. Конфигурация расположения центров диска и вырезов является линейной. Расстояние от центра диска до центра тяжести конструкции совпадает с x-координатой центра тяжести и задается формулой

$X_{С} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}$ ,

где x₁ — координата центра диска массой m₁ (точка O); x₂ — координата центра выреза массой m₂ (точка C₂); x₃ — координата центра выреза массой m₃ (точка C₃).

2. Запишем координаты центров тяжести (центров масс) каждого из тел:

для диска радиусом R₁ = R

x₁ = 0;

для выреза радиусом R₂ = R/4

x₂ = R/2;

для выреза радиусом R₃ = R/2

x₃ = −R/2.

3. Определим массы каждого из тел, считая тела плоскими фигурами:

для диска радиусом R₁ = R

m₁ = ρS₁ = ρπR²;

для выреза радиусом R₂ = R/4

m₂ = −ρS₂ = −ρπ(R/4)²;

для выреза радиусом R₃ = R/2

m₃ = −ρS₃ = −ρπ(R/2)²,

где ρ — плотность диска; (−ρ) — плотность вырезов; S₁ = πR² — площадь диска; S₂ = π(R/4)² — площадь выреза радиусом R/4; S₃ = π(R/2)² — площадь выреза радиусом R/2.

4. Рассчитаем координату центра тяжести диска с вырезами. Для этого подставим массы и координаты каждой из фигур в исходную формулу:

$X_{С} = \frac{ρ π R^{2} \cdot 0 + (- ρ π {(R / 4)}^{2}) (R / 2) + (- ρ π {(R / 2)}^{2}) (- R / 2)}{ρ π R^{2} + (- ρ π {(R / 4)}^{2}) + (- ρ π {(R / 2)}^{2})}$ .

После преобразования формулы получим:

$X_{С} = \frac{3 R}{22} = \frac{3 \cdot 44}{22} = 6,0$ см.

Таким образом, центр тяжести диска с вырезами расположен на линии, соединяющей центры диска и вырезов, и находится на расстоянии 6,0 см от центра диска.