Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

6.4. Теплообмен между телами

6.4.2. Уравнение теплового баланса для нагревания — остывания

Теплообмен — процесс обмена энергией между телами (или частями одного тела), происходящий без совершения ими механической работы. Теплообмен возможен только тогда, когда тела имеют различную температуру. При (тепловом) контакте двух тел, нагретых до разных температур, их температуры уравниваются.

Пусть два тела с разной температурой приводят в соприкосновение. До контакта первое тело имеет температуру T ₁, второе — температуру T ₂. Первое тело назовем горячим, второе — холодным, если имеет место неравенство

T ₁ > T ₂.

В результате теплообмена между телами устанавливается температура Θ:

горячее тело остывает до температуры Θ;
холодное тело нагревается до этой же температуры Θ.

Тело с большей температурой (горячее) при теплообмене отдает телу с меньшей температурой (холодному) некоторое количество теплоты; теплота, выделяющаяся при остывании, может быть рассчитана по формуле

Q ₁ = m ₁c _уд1(T ₁ − Θ),

где m ₁ — масса горячего тела; c _уд1 — удельная теплоемкость горячего тела; Θ — температура первого тела после его остывания (температура, установившаяся в результате теплообмена между телами).

Пусть два тела с разной температурой приводят в соприкосновение. До контакта первое тело имеет температуру T ₁, второе — температуру T ₂. Первое тело назовем горячим, второе — холодным, если имеет место неравенство

T ₁ > T ₂.

В результате теплообмена между телами устанавливается температура Θ: холодное тело нагревается от температуры T ₂ до температуры Θ, горячее тело остывает до этой же температуры Θ.

Тело с меньшей температурой (холодное) при теплообмене принимает от тела с большей температурой (горячего) некоторое количество теплоты; теплота, поглощающаяся при нагревании, может быть рассчитана по формуле

Q ₂ = m ₂c _уд2(Θ − T ₂),

где m ₂ — масса холодного тела; c _уд2 — удельная теплоемкость холодного тела; Θ — температура второго тела после его нагревания (температура, установившаяся в результате теплообмена между телами).

Пусть два тела с разной температурой приводят в соприкосновение. До контакта первое тело имеет температуру T ₁, второе — температуру T ₂. Первое тело назовем горячим, второе — холодным, если имеет место неравенство

T ₁ > T ₂.

В результате теплообмена между телами устанавливается температура Θ: горячее тело остывает от температуры T ₁ до температуры Θ, холодное тело нагревается от температуры T ₂ до этой же температуры Θ.

Если в результате теплообмена вся теплота от горячего тела поступает холодному без потерь, то справедливо уравнение теплового баланса:

Q ₁ = Q ₂,

где Q ₁ — теплота, переданная от горячего тела холодному; Q ₂ — теплота, принятая холодным телом от горячего.

Уравнение теплового баланса для нагревания — остывания при теплообмене двух тел в явном виде:

m ₁c _уд1(T ₁ − Θ) = m ₂c _уд2(Θ − T ₂),

где m ₁ — масса горячего тела; m ₂ — масса холодного тела; c _уд1 — удельная теплоемкость горячего тела; c _уд2 — удельная теплоемкость холодного тела; Θ — температура, установившаяся в результате теплообмена между телами.

Пример 16. В калориметре смешали 250 г воды при температуре 20 °С и 150 г кипятка. Какова установившаяся температура смеси? Потерями на нагревание калориметра пренебречь.

Решение. Пусть в результате смешивания горячей и холодной воды в калориметре установится температура Θ (в градусах Цельсия).

Количество теплоты, выделяющееся при остывании горячей воды и необходимое для нагревания холодной, определяется следующими формулами:

для нагревания холодной воды требуется теплота

Q ₁ = c _удm ₁(Θ − t ₁),

где c _уд — удельная теплоемкость воды; m ₁ — масса холодной воды; t ₁ — температура холодной воды, t ₁ = 20,0 °С;

при остывании горячей воды выделяется теплота

Q ₂ = c _удm ₂(t ₂ − Θ),

где m ₂ — масса горячей воды; t ₂ — температура горячей воды, t ₂ = = 100 °С.

По условию задачи потерями на нагревание калориметра можно пренебречь, поэтому уравнение теплового баланса запишем в виде равенства

Q ₁ = Q ₂,

или, в явном виде,

c _удm ₁(Θ − t ₁) = c _удm ₂(t ₂ − Θ).

Искомой величиной является установившаяся температура

$Θ = \frac{m_{1} t_{1} + m_{2} t_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ .

Вычислим

$Θ = \frac{250 \cdot 10^{- 3} \cdot 20 + 150 \cdot 10^{- 3} \cdot 100}{250 \cdot 10^{- 3} + 150 \cdot 10^{- 3}} = 50$ °C.

Установившаяся температура смеси составляет 50 °С.

Пример 17. Калориметр имеет тепло емкость 200 Дж/К и находится при температуре 15,0 °С. В него наливают 100 г воды с температурой 15,0 °С и погружают шарик массой 150 г, охлажденный до температуры (–25,0) °С. Удельная теплоемкость воды составляет 4,20 кДж/(кг ⋅ К), а удельная теплоемкость материала, из которого изготовлен шарик, равна 880 Дж/(кг ⋅ К). Найти температуру воды после установления теплового равновесия.

Решение. Пусть в результате погружения шарика в калориметр с водой установится температура Θ (в кельвинах).

Количество теплоты, выделяющееся при остывании калориметра и воды, и количество теплоты, необходимое для нагревания шарика, определяются следующими формулами:

для нагревания шарика требуется теплота

Q ₁ = c _уд1m ₁(Θ − T ₁),

где c _уд1 — удельная теплоемкость материала шарика; m ₁ — масса шарика; T ₁ — температура шарика, T ₁ = 248 К;

при остывании воды выделяется теплота

Q ₂ = c _уд2m ₂(T ₂ − Θ),

где c _уд2 — удельная теплоемкость воды; m ₂ — масса воды; T ₂ — температура воды, T ₂ = 288 К;

при остывании калориметра выделяется теплота

Q ₃ = C(T ₂ − Θ),

где C — теплоемкость калориметра; T ₂ — температура калориметра, T ₂ = 288 К.

Уравнение теплового баланса запишем в виде равенства

Q ₁ = Q ₂ + Q ₃,

или, в явном виде,

c _уд1m ₁(Θ − T ₁) = c _уд2m ₂(T ₂ − Θ) + c(T ₂ − Θ).

Искомой величиной является установившаяся температура

$Θ = \frac{c_{уд 1} m_{1} T_{1} + c_{уд 2} m_{2} T_{2} + C T_{2}}{c_{уд 1} m_{1} + c_{уд 2} m_{2} + C}$ .

Вычислим:

$Θ = \frac{880 \cdot 150 \cdot 10^{- 3} \cdot 248 + 4,20 \cdot 10^{3} \cdot 100 \cdot 10^{- 3} \cdot 288 + 200 \cdot 288}{880 \cdot 150 \cdot 10^{- 3} + 4,20 \cdot 10^{3} \cdot 100 \cdot 10^{- 3} + 200} \approx 281$ К.

В результате погружения шарика в калориметр с водой установится температура приблизительно равная 281 К.

Пример 18. В воду, имеющую температуру 10 °С, опускают тело, нагретое до 100 °С. Через некоторое время устанавливается температура 70 °С. Какова будет температура воды, если, не вынимая первого тела, в нее опустить еще одно такое же тело при температуре 100 °С?

Решение. Нагревание воды происходит в два этапа.

1. Нагревание воды до температуры Θ₁ = 70 °C за счет остывания первого тела, погруженного в воду.

Количество теплоты, выделяющееся при остывании первого тела и необходимое для нагревания воды, определяется следующими формулами:

для нагревания воды требуется теплота

Q ₁ = c _уд1m ₁(Θ₁ − t ₁),

где с _уд1 — удельная теплоемкость воды; m ₁ — масса воды; t ₁ — температура воды, t ₁ = 10,0 °С;

при остывании первого тела выделяется теплота

Q ₂ = C(t ₂ − Θ₁),

где C — теплоемкость первого тела; t ₂ — температура первого тела, t ₂ = 100 °С.

Уравнение теплового баланса запишем в виде равенства

Q ₁ = Q ₂,

или, в явном виде,

c _уд1m ₁(Θ₁ − t ₁) = C(t ₂ − Θ₁).

2. Нагревание воды и первого тела до температуры Θ₂ (в градусах Цельсия) за счет остывания второго тела, погруженного в воду.

Количество теплоты, выделяющееся при остывании второго тела и необходимое для нагревания первого тела и воды, определяется следующими формулами:

для нагревания воды —

Q ₃ = c _уд1m ₁(Θ₂ − Θ₁);

для нагревания первого тела —

Q ₄ = C(Θ₂ − Θ₁);

при остывании второго тела —

Q ₅ = C(t ₂ − Θ₂),

где C — теплоемкость второго тела; t ₂ — температура второго тела, t ₂ = 100 °С.

Уравнение теплового баланса запишем в виде равенства

Q ₅ = Q ₃ + Q ₄,

или, в явном виде,

С(t ₂ − Θ₂) = c _уд1m ₁(Θ₂ − Θ₁) + C(Θ₂ − Θ₁).

3. Уравнения теплового баланса, записанные в явном виде, образуют систему

$\begin{array}{l} c_{уд 1} m_{1} (Θ_{1} - t_{1}) = C (t_{2} - Θ_{1}), \\ C (t_{2} - Θ_{2}) = c_{уд 1} m_{1} (Θ_{2} - Θ_{1}) + C (Θ_{2} - Θ_{1}), \end{array}}$

которую необходимо решить относительно Θ₂.

Для этого преобразуем систему к виду

$\begin{array}{l} C (t_{2} - Θ_{1}) = c_{уд 1} m_{1} (Θ_{1} - t_{1}), \\ C (t_{2} + Θ_{1} - 2 Θ_{2}) = c_{уд 1} m_{1} (Θ_{2} - Θ_{1}) \end{array}}$

и выполним деление уравнений друг на друга:

$\frac{C (t_{2} - Θ_{1})}{C (t_{2} + Θ_{1} - 2 Θ_{2})} = \frac{c_{уд 1} m_{1} (Θ_{1} - t_{1})}{c_{уд 1} m_{1} (Θ_{2} - Θ_{1})}$ .

После упрощения имеем

$\frac{t_{2} - Θ_{1}}{t_{2} + Θ_{1} - 2 Θ_{2}} = \frac{Θ_{1} - t_{1}}{Θ_{2} - Θ_{1}}$ , или $Θ_{2} = \frac{2 t_{2} Θ_{1} - t_{1} t_{2} - t_{1} Θ_{1}}{t_{2} - Θ_{1} + 2 Θ_{1} - 2 t_{1}}$ .

Выполним расчет:

$Θ_{2} = \frac{2 \cdot 100 \cdot 70 - 10 \cdot 100 - 10 \cdot 70}{100 - 70 + 2 \cdot 70 - 2 \cdot 10} = 82$ °C.

После погружения второго тела в воду установится температура 82 °С.

Физика